Сколько четырехзначных чисел abcd существует, где a < b < c

Чтобы определить, сколько существует четырехзначных чисел \(abcd\), где \(a < b < c\), мы должны рассмотреть несколько кейсов.

Вариант 1: \(a = 0\)
Если \(a = 0\), то \(b\) и \(c\) также не могут быть равны 0. То есть у нас есть 9 возможных цифр для \(b\) (от 1 до 9), и также 9 возможных цифр для \(c\) (от 1 до 9), где \(c\) должно быть больше \(b\).

Таким образом, для каждой комбинации цифр \(b\) и \(c\) (из 9 возможных каждая), у нас есть 8 возможных цифр для \(d\) (все цифры от 0 до 9, исключая \(a\), \(b\) и \(c\)).

Всего получаем \(9 \times 9 \times 8\) комбинаций для этого варианта.

Вариант 2: \(a \neq 0\)
Если \(a \neq 0\), у нас есть 9 возможных цифр для \(a\) (от 1 до 9), 9 возможных цифр для \(b\) (от \(a+1\) до 9) и 9 возможных цифр для \(c\) (от \(b+1\) до 9).

Для каждой комбинации цифр \(a\), \(b\) и \(c\) (из 9 возможных каждая), у нас также есть 8 возможных цифр для \(d\) (все цифры от 0 до 9, исключая \(a\), \(b\) и \(c\)).

Всего получаем \(9 \times 9 \times 9 \times 8\) комбинаций для этого варианта.

Теперь нам нужно сложить общее количество комбинаций из двух вариантов, чтобы получить общее количество четырехзначных чисел \(abcd\), где \(a < b < c\):
\(9 \times 9 \times 8 + 9 \times 9 \times 9 \times 8\)

Подсчитаем это выражение:
\[
(9 \times 9 \times 8) + (9 \times 9 \times 9 \times 8) = 648 + 5832 = 6480
\]

Таким образом, существует 6480 четырехзначных чисел \(abcd\), где \(a < b < c\).