Сколько четных пятеричных чисел длиной 6 существует, если они начинаются с цифры?

Чтобы решить данную задачу, нужно учесть несколько факторов.
Пятеричная система счисления использует пять различных цифр: 0, 1, 2, 3 и 4. В числе, начинающемся с 0, может быть любая цифра от 0 до 4. В числах, начинающихся с 1, 2, 3 или 4, первая цифра может быть только 0 или 2, так как они должны быть четными.

Теперь рассмотрим возможные варианты для каждого из трех случаев:

1) Числа, начинающиеся с 0:
- Первую цифру можно выбрать 5 способами (так как диапазон возможных цифр от 0 до 4).
- Оставшиеся пять цифр могут быть любыми цифрами от 0 до 4, поэтому их можно выбирать 5 способами для каждой позиции. Так как длина числа равна 6, у нас есть 6 позиций для выбора цифр.
- По правилу умножения получаем: \(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6\) способов выбрать вышеописанным образом цифры. Ответ для этого случая составляет \(5^6\).

2) Числа, начинающиеся с 1:
- Единственная возможная первая цифра - 2.
- Оставшиеся пять цифр могут также быть любыми цифрами от 0 до 4, поэтому их также можно выбирать 5 способами для каждой позиции.
- В этом случае у нас также есть \(5^5\) способов выбрать цифры для остальных позиций.
- Ответ для этого случая составляет \(1 \times 5^5 = 5^5\).

3) Числа, начинающиеся с 2, 3 или 4:
- Единственная возможная первая цифра - 0.
- Оставшиеся пять цифр могут быть любыми цифрами от 0 до 4, поэтому их можно выбирать 5 способами для каждой позиции.
- В этом случае у нас также есть \(5^5\) способов выбрать цифры для остальных позиций.
- Ответ для каждого из этих случаев составляет \(1 \times 5^5 = 5^5\).

Теперь сложим количество вариантов для каждого случая, чтобы получить общее количество четных пятеричных чисел длиной 6, которые начинаются с цифры.
\(5^6 + 5^5 + 5^5\)

Это даст нам окончательный ответ на задачу: \(5^6 + 2 \times 5^5\). Это число можно вычислить, получив числовое значение. Вычислять вручную может быть сложно, но можно использовать калькулятор или программу для выполнения этой операции.