Сколько цепочек вывода с n открывающимися скобками может быть выведено для грамматики g с правилами s → ( s ) s

Задача требует найти количество цепочек вывода с заданным количеством открывающихся скобок в грамматике $g$ с правилами $s\to (s)s$ и $s\to \epsilon$. Решим задачу шаг за шагом для каждого значения $n$:

a) $n=1$

Нам необходимо найти количество цепочек вывода с одной открывающейся скобкой. Согласно правилам грамматики $g$, цепочка вывода может быть либо пустой (так как $s\to \epsilon$), либо иметь вид $s\to (s)s$. В данном случае, чтобы получить одну открывающуюся скобку, мы можем выбрать правило $s\to (s)s$. Применяя это правило один раз, мы получаем цепочку вывода $(s)s$. Здесь внутри скобок мы можем применить правило снова, чтобы получить новую пару скобок: $((s)s)s$. Всего у нас есть две цепочки вывода с одной открывающейся скобкой.

b) $n=2$

Теперь нам нужно найти количество цепочек вывода с двумя открывающимися скобками. Снова у нас есть два варианта: либо цепочка вывода пустая, либо она имеет вид $s\to (s)s$. Если мы выбираем правило $s\to \epsilon$, получаем пустую цепочку. Если же мы применяем правило $s\to (s)s$, то получаем цепочку, в которой имеется одна пара скобок, а внутри неё также может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок: $((s)s)s$. Таким образом, у нас есть три цепочки вывода с двумя открывающимися скобками.

c) $n=3$

Теперь рассмотрим случай с тремя открывающимися скобками. Если мы выбираем правило $s\to \epsilon$, получаем пустую цепочку. Если применяем правило $s\to (s)s$, то получаем цепочку, в которой есть одна пара скобок и внутри её может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок, а внутри пары скобок также может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок: $(((s)s)s)s$. Таким образом, у нас есть пять цепочек вывода с тремя открывающимися скобками.

Итак, для заданной грамматики $g$ и заданных значений $n$ количество цепочек вывода будет следующим:

a) $n=1$ - две цепочки вывода
b) $n=2$ - три цепочки вывода
c) $n=3$ - пять цепочек вывода

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их.