Сколько цепочек вывода с n открывающимися скобками может быть выведено для грамматики g с правилами s → ( s ) s

Задача требует найти количество цепочек вывода с заданным количеством открывающихся скобок в грамматике \(g\) с правилами \(s \rightarrow (s)s\) и \(s \rightarrow \varepsilon\). Решим задачу шаг за шагом для каждого значения \(n\):

a) \(n = 1\)

Нам необходимо найти количество цепочек вывода с одной открывающейся скобкой. Согласно правилам грамматики \(g\), цепочка вывода может быть либо пустой (так как \(s \rightarrow \varepsilon\)), либо иметь вид \(s \rightarrow (s)s\). В данном случае, чтобы получить одну открывающуюся скобку, мы можем выбрать правило \(s \rightarrow (s)s\). Применяя это правило один раз, мы получаем цепочку вывода \((s)s\). Здесь внутри скобок мы можем применить правило снова, чтобы получить новую пару скобок: \(((s)s)s\). Всего у нас есть две цепочки вывода с одной открывающейся скобкой.

b) \(n = 2\)

Теперь нам нужно найти количество цепочек вывода с двумя открывающимися скобками. Снова у нас есть два варианта: либо цепочка вывода пустая, либо она имеет вид \(s \rightarrow (s)s\). Если мы выбираем правило \(s \rightarrow \varepsilon\), получаем пустую цепочку. Если же мы применяем правило \(s \rightarrow (s)s\), то получаем цепочку, в которой имеется одна пара скобок, а внутри неё также может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок: \(((s)s)s\). Таким образом, у нас есть три цепочки вывода с двумя открывающимися скобками.

c) \(n = 3\)

Теперь рассмотрим случай с тремя открывающимися скобками. Если мы выбираем правило \(s \rightarrow \varepsilon\), получаем пустую цепочку. Если применяем правило \(s \rightarrow (s)s\), то получаем цепочку, в которой есть одна пара скобок и внутри её может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок, а внутри пары скобок также может быть либо пустая цепочка, либо пара скобок: \((((s)s)s)s\). Таким образом, у нас есть пять цепочек вывода с тремя открывающимися скобками.

Итак, для заданной грамматики \(g\) и заданных значений \(n\) количество цепочек вывода будет следующим:

a) \(n = 1\) - две цепочки вывода
b) \(n = 2\) - три цепочки вывода
c) \(n = 3\) - пять цепочек вывода

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их.