Сколько целочисленных решений имеет неравенство sin(2x+pi/3) меньше или равно 1/2 на интервале (0; 2п)?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо рассмотреть неравенство sin(2x + π/3) ≤ 1/2 на интервале (0; 2π) и найти количество целочисленных решений.

Для начала, давайте определим, какие значения аргумента x удовлетворяют данному неравенству.

Неравенство sin(2x + π/3) ≤ 1/2 может быть выполнено в двух случаях:
1. Когда значение sin(2x + π/3) равно 1/2.
2. Когда значение sin(2x + π/3) меньше 1/2.

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Когда sin(2x + π/3) = 1/2:
Мы знаем, что значения синуса на интервале (0; 2π), для которых sin(x) = 1/2, соответствуют x = π/6 и x = 5π/6.

Определим значения 2x + π/3, соответствующие данным значениям x:
- Для x = π/6: 2x + π/3 = 2 * (π/6) + π/3 = (2π + 2π)/6 = 4π/6 = 2π/3.
- Для x = 5π/6: 2x + π/3 = 2 * (5π/6) + π/3 = (10π + 2π)/6 = 12π/6 = 2π.

Мы получили два значения аргумента x, соответствующих sin(2x + π/3) = 1/2.

2. Когда sin(2x + π/3) < 1/2:
Чтобы найти значения аргумента x, для которых sin(2x + π/3) < 1/2, мы можем воспользоваться графиком функции sin(2x + π/3) на интервале (0; 2π).

График данной функции повторяется каждые π радиан, поэтому достаточно рассмотреть только один период графика. Посмотрим на график и определим значения аргумента x, при которых sin(2x + π/3) находится под горизонтальной линией y = 1/2.

[Вставить график синуса (2x + π/3)]

Из графика видно, что синус(2x + π/3) < 1/2 на двух интервалах:
- Отрезок (0; π/6).
- Отрезок (11π/6; 2π).

На отрезках (0; π/6) и (11π/6; 2π) график функции находится ниже горизонтальной линии y = 1/2.

Теперь мы знаем, что задача сводится к поиску количества целочисленных решений на интервале (0; 2π), которые удовлетворяют неравенству sin(2x + π/3) ≤ 1/2.

Как мы выяснили ранее, уравнение sin(2x + π/3) = 1/2 имеет два решения: x = π/6 и x = 5π/6.

А неравенство sin(2x + π/3) < 1/2 имеет бесконечное количество решений на отрезках (0; π/6) и (11π/6; 2π).

Итак, всего у нас будет три целочисленных решения на интервале (0; 2π), которые удовлетворяют данному неравенству.