Сколько арифметических прогрессий с различными натуральными числами существует, в которых все числа не превышают 1000

Для решения этой задачи, давайте в первую очередь разберемся в понятии арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числу одного и того же постоянного числа, называемого шагом прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a_1\) и шаг прогрессии как \(d\). Тогда любое следующее число в прогрессии будет вычисляться по формуле:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

В нашей задаче требуется найти количество арифметических прогрессий с различными натуральными числами, в которых все числа не превышают 1000 и состоят из 23 членов. Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Если шаг прогрессии \(d = 1\), то последовательность чисел будет просто набором последовательных натуральных чисел. В этом случае самый первый член \(a_1\) может быть любым натуральным числом до 978, так как после этого сумма 23 членов превысит 1000. Следовательно, возможных вариантов для \(a_1\) будет 978.
2. Если шаг прогрессии \(d = 2\), то каждое второе число в прогрессии будет четным, и в этом случае сумма 23 членов превысит 1000 при \(a_1 = 1\). Таким образом, самое маленькое значение \(a_1\) будет 2, и его максимальное значение будет 977, чтобы сумма не превышала 1000. Таким образом, возможных вариантов для \(a_1\) будет 488.
3. Если шаг прогрессии \(d = 3\), то каждое третье число в прогрессии будет кратным 3, и в этом случае сумма 23 членов превысит 1000 при \(a_1 = 1\). Таким образом, самое маленькое значение \(a_1\) будет 3, и его максимальное значение будет 976, чтобы сумма не превышала 1000. Таким образом, возможных вариантов для \(a_1\) будет 325.

Таким образом, общее количество арифметических прогрессий с различными натуральными числами, в которых все числа не превышают 1000 и состоят из 23 членов, будет равно сумме всех возможных вариантов для \(a_1\) при различных значениях шага прогрессии. В данном случае сумма всех возможных вариантов будет равна: 978 + 488 + 325 = 1791.

Таким образом, в задаче о количестве арифметических прогрессий с различными натуральными числами в указанных ограничениях, общее количество таких прогрессий равно 1791.