Сколько 9-значных чисел можно составить, используя цифры 2, 4, 6 и 8? Какое количество из них включает ровно 3 двойки

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Первым шагом определим общее количество 9-значных чисел, которые можно составить, используя цифры 2, 4, 6 и 8.

В данном случае, мы имеем 4 различные цифры, которые могут занимать любую из 9 позиций в числе, поэтому общее количество возможных чисел можно найти следующим образом:

\[количество\ чисел = количество\ вариантов\ для\ каждой\ позиции = 4^9\]

Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи: какое количество из этих чисел включает ровно 3 двойки и 2 шестерки?

Чтобы решить этот вопрос, давайте определим, какие позиции в числе должны занимать двойки и шестерки. В данной задаче, мы знаем, что ровно 3 двойки должны занимать разные позиции, а также что 2 шестерки должны занимать другие позиции, не занятые двойками.

Выберем 3 позиции для двоек из 9 возможных позиций. Это можно сделать следующим образом:

\[количество\ способов\ выбрать\ 3\ позиции\ для\ двоек = \binom{9}{3}\]

Затем, выберем 2 позиции для шестерок из оставшихся 6 позиций. Это можно сделать следующим образом:

\[количество\ способов\ выбрать\ 2\ позиции\ для\ шестерок = \binom{6}{2}\]

Теперь умножим количество способов выбрать позиции для двоек и шестерок, чтобы получить общее количество чисел, которые удовлетворяют условию:

\[количество\ чисел = \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}\]

Подставим значения в формулу и выполним вычисления:

\[количество\ чисел = \binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2} = \frac{9!}{3!6!} \cdot \frac{6!}{2!4!} = \frac{9! \cdot 6!}{3! \cdot 6! \cdot 2! \cdot 4!}\]

\[= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2} = 84 \cdot 15 = 1260\]

Таким образом, количество 9-значных чисел, которые можно составить, используя цифры 2, 4, 6 и 8, и которые включают ровно 3 двойки и 2 шестерки, равно 1260.