Сколькими способами можно выбрать 5 человек из архитектурного бюро, состоящего из 10 архитекторов и одного

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся комбинаторикой. В первом случае у нас есть ограничение: руководитель обязательно должен быть среди выбранных. Для решения этой части задачи мы можем выбрать одного руководителя из одного возможного (только один руководитель в бюро). Затем из оставшихся 10 архитекторов мы выбираем 4 человека. Всего способов выбрать 5 человек в этом случае будет равно
\(\binom{1}{1} \cdot \binom{10}{4}\).

Во втором случае, когда руководитель может быть включен или не включен в выборку, у нас есть две возможности: либо выбрать руководителя и еще 4 архитекторов, либо выбрать все 5 архитекторов без руководителя. В первом случае мы можем выбрать одного руководителя из одного возможного и 4 архитекторов из 10, кроме руководителя.
Во втором случае мы можем выбрать 5 архитекторов из 10 (без ограничений).
Суммируя эти два случая, получаем общее количество способов выбрать 5 человек так, чтобы руководитель остался в бюро:
\(\binom{1}{1} \cdot \binom{10}{4} + \binom{10}{5}\).

Выражения \(\binom{1}{1}\) и \(\binom{10}{4}\) являются биномиальными коэффициентами и обозначают число сочетаний. Биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\) определяется формулой:
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),
где \(n!\) обозначает факториал числа n.

Таким образом, итоговый ответ на задачу:
\(\binom{1}{1} \cdot \binom{10}{4} + \binom{10}{5}\).