Скільки варіантів коду замка існує, якщо є 10 кнопок з різними цифрами і потрібно натиснути дві одночасно

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Давайте посмотрим на каждый шаг решения по порядку.

Шаг 1: Определение количества доступных кнопок
У нас есть 10 кнопок с разными цифрами. Пусть каждая кнопка будет обозначаться буквой от A до J, соответствующей цифре на кнопке.

Шаг 2: Определение количества способов выбрать две кнопки
Мы должны нажать две кнопки одновременно. Для этого мы должны выбрать 2 кнопки из 10 доступных. Для определения количества способов выбрать 2 элемента из множества из 10 элементов мы можем использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний (C) выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]

Где n - это общее количество элементов, а k - количество элементов, которое нужно выбрать.

Применяя формулу сочетаний к нашей задаче, мы получаем:

\[C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10 - 2)!}}\]

Вычисляя это, получаем:

\[C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 45\]

То есть, у нас есть 45 способов выбрать две кнопки из 10 доступных.

Шаг 3: Учет перестановок
Теперь давайте учтем перестановки. Заметим, что коды, которые образуются путем перестановки цифр, считаются одним и тем же кодом. Например, код 12 и код 21 считаются одним и тем же кодом.

Для этого мы должны разделить общее количество способов выбрать две кнопки на количество перестановок двух цифр. Формула для подсчета количества перестановок (P) выглядит следующим образом:

\[P(n) = n!\]

Где n - количество элементов, которые нужно переставить.

Применяя формулу перестановок к нашей задаче, мы получаем:

\[P(2) = 2!\]

Вычисляя это, получаем:

\[P(2) = 2! = 2 \cdot 1 = 2\]

То есть, у нас есть только 2 перестановки двух цифр.

Шаг 4: Получение ответа
Теперь мы можем получить окончательный ответ, разделив общее количество способов выбрать две кнопки на количество перестановок двух цифр.

\[Ответ = \frac{{Общее количество способов выбрать две кнопки}}{{Количество перестановок двух цифр}} = \frac{{45}}{{2}} = 22.5\]

Ответ: Существует 22,5 вариантов кода замка, если нужно нажать две кнопки одновременно для открытия дверей.