Какое решение имеет неравенство log23(81−x2)−7log3(81−x2)+12≥0?

Здравствуйте! Я помогу вам решить данное неравенство. Давайте начнем с анализа выражения и пошагово найдем его решение.

Дано неравенство: \(\log_{3}(81-x^2) - 7\log_{3}(81-x^2) + 12 \geq 0\).

Шаг 1: Преобразование логарифмов
Используя свойства логарифмов, мы можем преобразовать данное выражение. Вспомним, что \(\log_{a}(b^c) = c\log_{a}(b)\). Применив это свойство, мы можем записать \(\log_{3}(81-x^2)\) как \(2\log_{3}(9-x)\).
Также, делаем замечание, что \(\log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\).

Исходное неравенство становится: \(2\log_{3}(9-x) - 7\cdot2\log_{3}(9-x) + 12 \geq 0\).

Шаг 2: Замена переменной
Давайте введем новую переменную: \(y = \log_{3}(9-x)\). Теперь неравенство примет вид: \(2y - 14y + 12 \geq 0\).

Шаг 3: Упрощение выражения
Выполним арифметические операции в данном неравенстве, чтобы упростить его. Получим: \(-12y + 12 \geq 0\).

Шаг 4: Решение неравенства
Для решения данного линейного неравенства, нам необходимо разделить обе части на \(-12\), обращая внимание на изменение направления неравенства при делении на отрицательное число. Получим: \[y - 1 \leq 0.\]

Шаг 5: Обратная замена переменной
Теперь, зная, что \(y = \log_{3}(9-x)\), мы можем перейти к решению относительно переменной \(x\). Запишем полученное неравенство: \(\log_{3}(9-x) - 1 \leq 0\).

Шаг 6: Решение логарифмического неравенства
Для решения данного логарифмического неравенства, мы преобразуем его в эквивалентную форму, используя определение логарифма. Итак, \(\log_{3}(9-x) - 1 \leq 0\) эквивалентно \(3^{\log_{3}(9-x) - 1} \leq 3^0\).

Отсюда получаем: \((9-x) - 3 \leq 1\).
Теперь, выполняя арифметические операции, мы имеем: \(6 \leq x\).

Шаг 7: Проверка и окончательный ответ
Чтобы убедиться, что наше решение верно, давайте проверим его. Заметим, что логарифмическое выражение будет допустимо только при \(9-x > 0\), то есть \(x < 9\).

Таким образом, общее решение неравенства равно \(x \in [6, 9)\).

Надеюсь, этот пошаговый процесс решения помог вам понять, как получить решение данного неравенства.