Скільки сантиметрів становлять радіуси описаного та вписаного кол у правильний трикутник зі стороною

Добрый день! Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать некоторые свойства описанного и вписанного кола в правильный треугольник.

1. Описанное кольцо: радиус описанного кольца равен половине стороны треугольника.

2. Вписанное кольцо: радиус вписанного кольца равен половине высоты треугольника, опущенной на эту сторону.

В простых словах, радиус описанного кольца равен расстоянию от центра окружности до одного из вершин треугольника, а радиус вписанного кольца равен расстоянию от центра окружности до ближайшей стороны треугольника.

Теперь применим эти знания к нашей задаче. У нас есть правильный треугольник со стороной $a$. Поэтому радиус описанного кольца будет равен половине стороны, то есть $\frac{a}{2}$.

Чтобы найти радиус вписанного кольца, нам нужно знать высоту треугольника. Но для правильного треугольника, высота является биссектрисой и делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Зная, что большая сторона делится пополам, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти половину высоты.

Пусть $h$ - высота треугольника, тогда мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному половиной высоты, половиной стороны и радиусом вписанной окружности:

$(\frac{a}{2}{)}^2+h^2=r^2$,

где $r$ - радиус вписанной окружности.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике длина биссектрисы равна $\frac{2}{3}$ длины медианы. Таким образом, биссектриса $h$ равна $\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}a}{2}$.

Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение и решить его:

$(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}a}{2}{)}^2=r^2$,

$\frac{a^2}{4}+\frac{\frac{4}{9}{a}^2\times 3}{4}=r^2$,

$\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=r^2$,

$\frac{7a^2}{12}=r^2$,

$r=\sqrt{\frac{7a^2}{12}}$.

Таким образом, радиус вписанного кольца равен $\sqrt{\frac{7a^2}{12}}$.

Надеюсь, эта подробная и осторожная информация помогла вам в понимании задачи и в решении ее. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!