Чему равны длины второго катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если длина первого катета ak=43√ мм и угол

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать теорему косинусов и данные, которые уже имеем.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]
где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов, \(C\) - угол между гипотенузой и одним из катетов.

В нашем случае, у нас есть длина первого катета \(ak = 43\sqrt{3}\) мм и угол \(\angle oak = 30°\). Мы хотим найти длину второго катета и гипотенузы.

Длина первого катета \(a\) уже задана: \(a = 43\sqrt{3}\) мм.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол \(\angle oka\) равен \(180° - 90° - 30° = 60°\).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину второго катета \(b\) и гипотенузы \(c\).
Для этого, сначала найдем \(\cos(\angle oka)\) по формуле:
\[\cos(\angle oka) = \cos(60°) = \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем записать формулу теоремы косинусов:
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)

Подставим известные значения:
\(c^2 = (43\sqrt{3})^2 + b^2 - 2 \cdot 43\sqrt{3} \cdot b \cdot \frac{1}{2}\)

Упростим это выражение:
\(c^2 = 1849 \cdot 3 + b^2 - 43\sqrt{3} \cdot b\)

Дальше мы можем найти \(b^2\) путем перестановки слагаемых:
\(c^2 - 1849 \cdot 3 = b^2 - 43\sqrt{3} \cdot b\)

Теперь мы знаем, что \(\sqrt{3}\) - это приблизительно 1,732. Перезапишем уравнение:
\(c^2 - 5547 = b^2 - 43\cdot 1.732 \cdot b\)

Теперь мы хотим найти конкретные значения для \(b\) и \(c\). Для этого нам нужно решить уравнение выше. Но, я увидел ошибку в формуле. Простите за это. Угол ∢oak = ∢ako, это будет равно 30°, но ∢oka будет равно 90°. Вместо того, чтобы использовать теорему косинусов, мы можем использовать тригонометрию. Так как \(∢oka = 90°\), то \(\sin(∢ako) = \sin(30°) = \frac{1}{2}\). Теперь мы можем использовать решить уравнение.

Для решения данной задачи, нам понадобится применить теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. Формула теоремы Пифагора выглядит так:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

В данном случае у нас уже известна длина первого катета \(ak = 43\sqrt{3}\) мм, а угол \(\angle oak = 30^{\circ}\). Мы хотим узнать длину второго катета и гипотенузы.

Длина первого катета \(a\) уже задана: \(a = 43\sqrt{3}\) мм.

Чтобы найти длину второго катета, нам необходимо использовать формулу синуса:
\[\sin(\angle oak) = \frac{a}{c}\]
где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) - длина катета, \(\angle oak\) - угол между гипотенузой и катетом.

Подставим известные значения в формулу:
\[\sin(30^{\circ}) = \frac{43\sqrt{3}}{c}\]

Мы знаем, что \(\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}\), поэтому уравнение примет вид:
\[\frac{1}{2} = \frac{43\sqrt{3}}{c}\]

Выразим \(c\) из уравнения:
\[c = \frac{43\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\]

Упростим выражение:
\[c = 43\sqrt{3} \cdot 2\]
\[c = 86\sqrt{3}\]

Таким образом, длина гипотенузы \(oc\) равна \(86\sqrt{3}\) мм.

Теперь, чтобы найти длину второго катета, мы можем использовать теорему Пифагора:
\[b^2 = c^2 - a^2\]
\[b^2 = (86\sqrt{3})^2 - (43\sqrt{3})^2\]
\[b^2 = 7396 \cdot 3 - 1849 \cdot 3\]
\[b^2 = 5547\]

Таким образом, длина второго катета \(oa\) равна \(\sqrt{5547}\) мм.