Сидит жук в каждой клетке доски 4×4. Когда некто хлопнул в ладоши, каждый жук в панике перебежал в одну из соседних

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. В начале на доске располагается 16 жуков, по одному в каждой клетке 4x4 доски.

2. Предположим, что жук сидит в верхнем левом углу доски. Он имеет только две соседние клетки: справа и внизу.

3. Если кто-то хлопнул в ладоши, жук в панике может перебежать только в одну из двух соседних клеток. Пусть он выбрал перебежать в клетку справа сверху.

4. Теперь рассмотрим соседние клетки этого жука. Жук, перебежав в клетку справа сверху, имеет три соседние клетки: слева от себя, снизу от себя и справа от себя внизу.

5. Давайте продолжим этот процесс для каждого из 16 жуков на доске и выясним, сколько свободных клеток могло остаться.

Мы можем заметить, что жук, находящийся в угловой клетке, будет иметь только 2 соседние клетки, жук, находящийся на краю доски (не в угловой клетке), будет иметь 3 соседние клетки, и жук, находящийся внутри доски, будет иметь 4 соседние клетки.

Так как у каждого жука есть от 2 до 4 соседних клеток, то количество свободных клеток на доске будет равно сумме количества соседних клеток для каждого жука.

Всего у нас 16 жуков:
- 4 угловых жука, каждый имеет 2 соседние клетки, итого 4 * 2 = 8 соседних клеток.
- 8 жуков на краю доски, каждый имеет 3 соседние клетки, итого 8 * 3 = 24 соседние клетки.
- 4 жука внутри доски, каждый имеет 4 соседние клетки, итого 4 * 4 = 16 соседних клеток.

Суммируя все соседние клетки, получаем 8 + 24 + 16 = 48 соседних клеток.

Таким образом, на доске может остаться 16 - 48 = -32 свободных клеток.

Ответ: В рассматриваемой ситуации на доске не может остаться ни одной свободной клетки.