Самостоятельная задача по теме простейшие в координатах вариант 5. Имеются точки: А (7; -4), В (-2; 10), С

Давайте пошагово решим данную задачу по теме "Простейшие векторы в координатах".

а) Чтобы найти координаты вектора АВ, нам нужно вычесть координаты точки A из координат точки B. Имеем:
\[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)
\]

Подставляя значения точек A (7; -4) и B (-2; 10), получаем:
\[
\overrightarrow{AB} = (-2 - 7, 10 - (-4)) = (-9, 14)
\]

Ответ: Координаты вектора АВ равны (-9, 14).

б) Длина вектора АВ вычисляется по формуле:
\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
\]

Подставляя значения точек A (7; -4) и B (-2; 10) в данную формулу, получаем:
\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2 - 7)^2 + (10 - (-4))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (14)^2} = \sqrt{81 + 196} = \sqrt{277}
\]

Ответ: Длина вектора АВ равна \(\sqrt{277}\).

в) Для нахождения координат середины отрезка АС, нужно взять среднее арифметическое от соответствующих координат точек A (7; -4) и C (0; 5). Имеем:
\[
\left(\frac{{x_A + x_C}}{2}, \frac{{y_A + y_C}}{2}\right) = \left(\frac{{7 + 0}}{2}, \frac{{-4 + 5}}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)
\]

Ответ: Координаты середины отрезка АС равны \(\left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

г) Периметр треугольника АВС вычисляется по формуле суммы длин его сторон. В данном случае имеем стороны АВ, ВС и СА.

Первая сторона АВ уже вычислена в пункте "а" и равна \(\sqrt{277}\).

Для вычисления остальных сторон, нужно использовать формулу из пункта "б".

Сторона ВС:
\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}
\]

Подставляя значения точек B (-2; 10) и C (0; 5) в формулу, получаем:
\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}
\]

Сторона СА:
\[
|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}
\]

Подставляя значения точек A (7; -4) и C (0; 5) в формулу, получаем:
\[
|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-9)^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130}
\]

Теперь сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр треугольника:
\[
\text{Периметр} = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{277} + \sqrt{29} + \sqrt{130}
\]

Ответ: Периметр треугольника АВС равен \(\sqrt{277} + \sqrt{29} + \sqrt{130}\).

д) Длина медианы может быть найдена по формуле:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]

Где a, b, и c - длины сторон треугольника. В нашем случае, стороны треугольника уже были вычислены в пункте "г".

Заменим a на длину стороны ВС, b на длину стороны АС, и c на длину стороны АВ:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (\sqrt{277})^2 + 2 \cdot (\sqrt{130})^2 - (\sqrt{29})^2}
\]

Вычисляя данное выражение, получаем:
\[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 277 + 2 \cdot 130 - 29} = \frac{1}{2} \sqrt{553 + 260 - 29} = \frac{1}{2} \sqrt{784} = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14
\]

Ответ: Длина медианы равна 14.

Таким образом, мы решили все подпункты данной задачи, дают пошаговое объяснение каждой операции для более полного понимания. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь вам еще!