С шарика скатывается с наклонной плоскости при отсутствии начальной скорости. Пройдя путь в 3 метра, он достигает

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать основные законы движения тела.

Первым шагом нужно определить, какие известные данные даны в условии задачи:

\(s_1 = 3\) м - путь, пройденный шариком, когда его скорость равна 2 м/с,
\(v_1 = 2\) м/с - скорость шарика после пройденного пути \(s_1\),
\(v_2 = 4\) м/с - требуемая скорость шарика после пройденного пути \(s_2\).

Закон сохранения энергии позволяет нам установить связь между начальной и конечной скоростями тела, а также между проделанным им путем.

В данном случае, пренебрегая потерями энергии и сопротивлением среды, можно использовать уравнение сохранения механической энергии:

\[E_1 = E_2,\]

где \(E_1\) - начальная механическая энергия шарика, а \(E_2\) - конечная механическая энергия шарика.

Механическая энергия тела определяется как сумма его кинетической и потенциальной энергий:

\[E = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}},\]

где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия шарика, \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия шарика.

Для нашей задачи можно записать начальное и конечное уравнения сохранения механической энергии:

\[E_{1_{\text{н}}}=E_{2_{\text{н}}},\]
\[E_{1_{\text{к}}}=E_{2_{\text{к}}},\]

где индекс «н» обозначает начальное состояние шарика, а индекс «к» обозначает конечное состояние шарика.

Так как спуск происходит без начальной скорости, то начальная кинетическая энергия шарика равна нулю: \(E_{1_{\text{к}}} = 0\).

Перейдем к выражению для начальной потенциальной энергии шарика:

\[E_{1_{\text{пот}}} = m \cdot g \cdot h_1,\]

где \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h_1\) - высота начальной точки шарика над нулевым уровнем.

Так как начальная точка шарика находится на наклонной плоскости, то можно заметить, что начальная потенциальная энергия будет включать и потенциальную энергию наклонной плоскости:

\[E_{1_{\text{пот}}} = m \cdot g \cdot h_1 + m \cdot g \cdot s_1 \cdot \sin(\alpha),\]

где \(\alpha\) - угол наклона плоскости.

Теперь рассмотрим выражение для конечной механической энергии шарика:

\[E_{2_{\text{мех}}} = E_{2_{\text{кин}}} + E_{2_{\text{пот}}}.\]

Для конечной кинетической энергии шарика можно использовать следующее выражение:

\[E_{2_{\text{кин}}} = \frac{m \cdot v_2^2}{2},\]

где \(v_2\) - требуемая скорость шарика после пройденного пути \(s_2\).

Аналогично начальной точке, конечная точка шарика также находится на наклонной плоскости, поэтому выражение для конечной потенциальной энергии будет включать и потенциальную энергию наклонной плоскости:

\[E_{2_{\text{пот}}} = m \cdot g \cdot h_2 + m \cdot g \cdot s_2 \cdot \sin(\alpha).\]

Теперь можем записать уравнение сохранения механической энергии:

\[m \cdot g \cdot h_1 + m \cdot g \cdot s_1 \cdot \sin(\alpha) = \frac{m \cdot v_2^2}{2} + m \cdot g \cdot h_2 + m \cdot g \cdot s_2 \cdot \sin(\alpha).\]

Сокращая массу и ускорение свободного падения, получаем:

\[h_1 + s_1 \cdot \sin(\alpha) = \frac{v_2^2}{2 \cdot g} + h_2 + s_2 \cdot \sin(\alpha).\]

Так как \(h_1\) и \(h_2\) - это высоты начальной и конечной точек шарика над нулевым уровнем, а высота шарика равна нулю после пройденного пути \(s_2\) при условии скорости 4 м/с, то \(h_2 = 0\).

Также можно заметить, что угол наклона плоскости \(\alpha\) сокращается:

\[h_1 + s_1 = \frac{v_2^2}{2 \cdot g} + s_2.\]

Теперь осталось найти значение \(s_2\), чтобы шарик достиг скорости 4 м/с:

\[s_2 = h_1 + s_1 - \frac{v_2^2}{2 \cdot g}.\]

Подставим известные значения:

\[s_2 = 0 + 3 - \frac{4^2}{2 \cdot 9.8}.\]

Выполняя необходимые вычисления, получим:

\[s_2 = 3 - \frac{16}{19.6} = 3 - 0.816 = 2.184\] м.

Таким образом, чтобы достичь скорости 4 м/с, шарику необходимо пройти путь в 2.184 метра.