С какой угловой скоростью нужно вращать шар массой 2,5 кг на веревке длиной 40 см в вертикальной плоскости, чтобы

Для решения задачи, нам понадобится использовать закон сохранения механической энергии. Мы можем представить систему как груз шара и потенциальную энергию, которая связана с его расположением.

Предположим, что шар начинает движение из положения покоя на вертикальной плоскости. Сумма кинетической и потенциальной энергии в начальный момент времени равна сумме этих энергий в конечный момент времени.

Так как шар движется по окружности, его кинетическая энергия связана с угловой скоростью. Потенциальная энергия связана с высотой и массой шара.

Обозначим угловую скорость через \(\omega\). Используя формулу для кинетической энергии вращающегося объекта, получим:

\[K = \frac{1}{2}I\omega^2\]

Где \(I\) - момент инерции шара, который можно выразить через его массу и радиус:

\[I = \frac{2}{5}mR^2\]

\(m\) - масса шара, \(R\) - радиус шара.

Потенциальная энергия связана с высотой подъема. В нашей задаче, это расстояние от начальной позиции шара до точки, когда веревка будет натянута. Обозначим высоту подъема через \(h\). Потенциальная энергия вычисляется как:

\[U = mgh\]

Где \(g\) - ускорение свободного падения.

Таким образом, уравнение сохранения энергии может быть записано:

\[K + U = \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh = \text{const}\]

Теперь, рассмотрим условие, при котором веревка не сломается. Веревка может выдержать натяжение, равное сумме силы тяжести и центростремительной силы, действующей на шар. Центростремительная сила определяется как \(F_c = \frac{mv^2}{R}\), где \(v\) - линейная скорость шара. Вращение по окружности связано с линейной скоростью формулой \(v = R\omega\). Таким образом, центростремительная сила может быть записана как \(F_c = mR\omega^2\).

Для того, чтобы веревка не сломалась, натяжение в веревке должно быть меньше или равно ее пределу прочности. Обозначим предел прочности веревки через \(T\). В нашем случае, натяжение в веревке будет равно \(T = mg + mR\omega^2\).

Таким образом, мы получаем уравнение:

\[mg + mR\omega^2 \leq T\]

Теперь мы имеем два уравнения: уравнение сохранения энергии и уравнение для натяжения веревки. Задача состоит в том, чтобы определить угловую скорость \(\omega\), при которой веревка не сломается.

Для решения данной задачи, подставим выражения для \(K\), \(U\) и \(I\) в уравнение сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}mR^2\omega^2 + mgh = \text{const}\]

Теперь подставим выражение для \(\text{const}\) в уравнение для натяжения веревки:

\[mg + mR\omega^2 \leq T\]

Теперь, выразим угловую скорость \(\omega\) через известные величины и решим неравенство.

\[mR\omega^2 \leq T - mg\]

\[\omega^2 \leq \frac{T - mg}{mR}\]

\[\omega \leq \sqrt{\frac{T - mg}{mR}}\]

Таким образом, угловая скорость должна быть меньше или равна \(\sqrt{\frac{T - mg}{mR}}\), чтобы веревка не сломалась.

Подставим известные значения в данное выражение и проведем вычисления:

\(m = 2,5 \, \text{кг}\) - масса шара,
\(R = 0,4 \, \text{м}\) - длина веревки,
\(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения (приближенное значение),
\(T\) - предел прочности веревки.

Например, если предел прочности веревки \(T\) равен 100 Н, то угловую скорость \(\omega\) можно вычислить следующим образом:

\[\omega \leq \sqrt{\frac{100 \, \text{Н} - 2,5 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2}{2,5 \, \text{кг} \cdot 0,4 \, \text{м}}}\]

\[\omega \leq \sqrt{\frac{100 \, \text{Н} - 24,5 \, \text{Н}}{1 \, \text{кг} \cdot 0,4 \, \text{м}}}\]

\[\omega \leq \sqrt{\frac{75,5 \, \text{Н}}{1 \, \text{кг} \cdot 0,4 \, \text{м}}}\]

\[\omega \leq \sqrt{188,75 \, \text{м}^{-2} \cdot \text{с}^{-2}}\]

\[\omega \leq 13,74 \, \text{м}^{-1} \cdot \text{с}^{-1}\]

Таким образом, чтобы веревка не сломалась, необходимо и достаточно вращать шар со скоростью не превышающей \(13,74 \, \text{м}^{-1} \cdot \text{с}^{-1}\). Любая скорость меньше или равная данному значению гарантирует, что веревка не сломается при вращении шара.