С какой скоростью растет тень человека, идущего по прямой горизонтальной дорожке под подвешенной на высоте 12 м лампой?

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать геометрические и тригонометрические свойства. Давайте разберемся пошагово.

Пусть \(x\) - это расстояние от человека до лампы, а \(h\) - высота тени. Тогда, используя подобие треугольников, мы можем записать:
\(\frac{x}{h} = \frac{x + 1.8}{12}\)

Для начала, давайте избавимся от дроби, перемножив обе стороны уравнения на \(h\):
\(x = \frac{12x + 12 \cdot 1.8}{h}\)

Теперь, для того чтобы найти скорость изменения расстояния \(x\) со временем, или, другими словами, скорость роста тени, давайте продифференцируем обе стороны уравнения по времени \(t\):
\(\frac{dx}{dt} = \frac{12 \cdot \frac{dx}{dt} - 12 \cdot \frac{dh}{dt}}{h}\)

Заметьте, что \(\frac{dh}{dt}\) - это скорость уменьшения высоты тени.

Далее, давайте используем формулу для тригонометрической функции синуса. Так как мы знаем, что \(\frac{h}{x + 1.8} = \sin{\theta}\), где \(\theta\) - это угол между горизонталью и линией от лампы к человеку, мы можем выразить \(\frac{dh}{dt}\) из этого уравнения:
\(\frac{dh}{dt} = \sin{\theta} \cdot \frac{dx}{dt}\)

Теперь, подставим это значение обратно в уравнение, содержащее \(\frac{dx}{dt}\):
\(\frac{dx}{dt} = \frac{12 \cdot \frac{dx}{dt} - 12 \cdot \sin{\theta} \cdot \frac{dx}{dt}}{h}\)

Избавимся от дробей:
\(1 = \frac{12 - 12 \cdot \sin{\theta}}{h}\)

Теперь, найдем \(\sin{\theta}\). Мы знаем, что \(\sin{\theta} = \frac{h}{x + 1.8}\), поэтому заменим \(\sin{\theta}\) на \(\frac{h}{x + 1.8}\) в уравнении:
\(1 = \frac{12 - 12 \cdot \frac{h}{x + 1.8}}{h}\)

Сократим выражение на \(12\):
\(1 = \frac{1 - \frac{h}{x + 1.8}}{\frac{h}{12}}\)

Упростим выражение:
\(h = x + 1.8\)

Теперь мы можем найти скорость роста тени \(\frac{dh}{dt}\):
\(\frac{dh}{dt} = \frac{dx}{dt}\)

И, так как мы знаем, что рост человека относительно времени составляет \(1.8\) м в час, то
\(\frac{dh}{dt} = \frac{dx}{dt} = 1.8\) м/час

Таким образом, скорость роста тени человека равна \(1.8\) метра в час.