Решите уравнение, используя ограничение левой и правой частей: 6 sin5x + 5 cos6x

Для начала решим данное уравнение, используя ограничение левой и правой частей.

Уравнение: \(6 \sin{5x} + 5 \cos{6x} = 0\)

Для решения данного уравнения мы воспользуемся тригонометрическими тождествами. Прежде всего, мы можем заменить \(\sin\) с помощью формулы двойного угла:

\[2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin{(\alpha + \beta)} + \sin{(\alpha - \beta)}\]

Таким образом, наше уравнение можно переписать следующим образом:

\[6 \left(2\sin{2x}\cos{3x}\right) + 5 \cos{6x} = 0\]

Теперь мы можем заменить \(\cos\) с помощью той же формулы двойного угла:

\[2\sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos{(\alpha - \beta)} - \cos{(\alpha + \beta)}\]

Применим это к нашему уравнению:

\[6 \left(2\sin{2x}\cos{3x}\right) + 5 \left(\cos{3x}\cos{3x} - \sin{3x}\sin{3x}\right) = 0\]

Теперь мы можем раскрыть скобки и сгруппировать подобные слагаемые:

\[12\sin{2x}\cos{3x} + 5\cos^2{3x} - 5\sin^2{3x} = 0\]

Мы можем использовать тригонометрическое тождество, согласно которому \(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}\).

Применим это к нашему уравнению:

\[12\sin{2x}\cos{3x} + 5\cos{2(3x)} = 0\]

Теперь у нас есть одинаковые углы перед синусами и перед косинусами. Мы можем объединить их:

\(12\sin{2x}\cos{3x} + 5\cos{6x} = 0\)

Теперь у нас есть тождество, которое состоит из комбинации синуса и косинуса. Чтобы левая и правая части были равными нулю, одновременно должны выполняться следующие два условия:

1. \(\sin{2x} = 0\)
2. \(\cos{3x} = 0\)

Давайте решим эти условия по очереди:

1. \(\sin{2x} = 0\)

Синус равен нулю при аргументе равном нулю или кратном \(\pi\). Таким образом, у нас есть два случая:

a) \(2x = 0\), откуда \(x = 0\)
b) \(2x = \pi\), откуда \(x = \frac{\pi}{2}\)

2. \(\cos{3x} = 0\)

Косинус равен нулю при аргументе равном \(\frac{\pi}{2}\) или кратном \(\pi\). Таким образом, у нас есть два случая:

a) \(3x = \frac{\pi}{2}\), откуда \(x = \frac{\pi}{6}\)
b) \(3x = \pi\), откуда \(x = \frac{\pi}{3}\)

Итак, у нас есть следующие решения:

- \(x = 0\) (согласно случаю 1a)
- \(x = \frac{\pi}{2}\) (согласно случаю 1b)
- \(x = \frac{\pi}{6}\) (согласно случаю 2a)
- \(x = \frac{\pi}{3}\) (согласно случаю 2b)

Надеюсь, что этот подробный шаг за шагом разбор помог вам понять, как решить данное уравнение при ограничении левой и правой частей. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!