Решите уравнение: 2x+2−104−x2+1=1x−2. Определите область определения этого дробного уравнения: D=Все действительные

Давайте решим данное дробное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

\[2x + 2 - \frac{104 - x^2 + 1}{x - 2} = 1\]

Для начала, давайте приведем данное уравнение к общему знаменателю. Заметим, что у нас имеется дробь в левой части уравнения. Найдем общий знаменатель, умножив каждую дробь на \(x - 2\):

\[2x(x - 2) + 2(x - 2) - (104 - x^2 + 1) = x - 2\]

Теперь распространим и упростим выражение:

\[2x^2 - 4x + 2x - 4 - 104 + x^2 - 1 = x - 2\]

Сгруппируем схожие слагаемые и упростим выражение:

\[3x^2 - x - 107 = x - 2\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону и упростим:

\[3x^2 - x - x - 107 - 2 = 0\]

\[3x^2 - 2x - 109 = 0\]

Данное квадратное уравнение имеет вид:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

где \(a = 3\), \(b = -2\) и \(c = -109\).

Теперь, давайте найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) для определения количества корней.

Рассчитаем дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-109) = 4 + 1312 = 1316\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня.

Теперь воспользуемся формулами для нахождения корней:

\[x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]

и

\[x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов:

\[x = \frac{-(-2) + \sqrt{1316}}{2 \cdot 3}\]
\[x = \frac{2 + \sqrt{1316}}{6}\]
\[x = \frac{1 + \sqrt{329}}{3}\]

и

\[x = \frac{-(-2) - \sqrt{1316}}{2 \cdot 3}\]
\[x = \frac{2 - \sqrt{1316}}{6}\]
\[x = \frac{1 - \sqrt{329}}{3}\]

Таким образом, корни дробного уравнения \(2x + 2 - \frac{104 - x^2 + 1}{x - 2} = 1\) равны \(x = \frac{1 + \sqrt{329}}{3}\) и \(x = \frac{1 - \sqrt{329}}{3}\).

Однако, у нас осталось проверить, входят ли эти корни в область определения исходного дробного уравнения. Область определения определяется по знаменателю, который не может быть равен нулю. В данном случае, знаменатель \(x - 2\) не может быть равен нулю, поэтому исключим значение \(x = 2\). Таким образом, область определения этого дробного уравнения равна множеству всех действительных чисел, кроме 2.

Итак, корни дробного уравнения \(2x + 2 - \frac{104 - x^2 + 1}{x - 2} = 1\) составляют множество \(\left\{ \frac{1 + \sqrt{329}}{3}, \frac{1 - \sqrt{329}}{3} \right\}\) при условии, что \(x \neq 2\).