Развернутый вопрос: Какова длина касательной CE, если к окружности проведена секущая CA, а треугольник BOE является

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о свойствах окружностей, равносторонних треугольников и касательных.

Итак, нам дана окружность с центром в точке O, к которой проведена секущая CA. Также, треугольник BOE является равносторонним с периметром 18.

По свойству равностороннего треугольника, все его стороны равны. Значит, сторона BO имеет длину 18/3 = 6 единиц.

Так как треугольник BOE является равносторонним, то и сторона OE (которая является радиусом окружности) тоже равна 6 единиц.

Для нахождения длины касательной CE, нам понадобится применить свойство касательных к окружности. Оно гласит, что касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Таким образом, касательная CE является перпендикулярной к радиусу OE. Образуется прямоугольный треугольник OCE.

Так как мы знаем длину стороны OE (6 единиц) и обходимость угла COE равна 90 градусов, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны CE.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае CE) равен сумме квадратов катетов (OE и OC).

Таким образом, получаем уравнение: \(CE^2 = OC^2 + OE^2\).

Так как OC является радиусом окружности, его длина равна 6 единиц.

Подставляя значения, получаем: \(CE^2 = 6^2 + 6^2\).

Вычисляя: \(CE^2 = 36 + 36 = 72\).

Следовательно, \(CE^2 = 72\).

Чтобы найти значение CE, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения: \(CE = \sqrt{72}\).

Теперь остается сократить радикал: \(CE = \sqrt{36 \cdot 2}\).

Раскрывая квадрат внутри радикала, получаем: \(CE = 6 \sqrt{2}\).

Таким образом, длина касательной CE равна 6 корень 2.

Ответ: В) 6 корень 2.