Как получить первые десять элементов последовательности, определенной рекурсивно: а) у=0, у2=1, у=2уₙ₋₂+уₙ₋₁

a) Последовательность у определена рекурсивно таким образом: первый элемент у₀ равен 0, второй элемент у₁ равен 1, а каждый следующий элемент вычисляется как сумма двух предыдущих: уₙ = 2уₙ₋₂ + уₙ₋₁.

Чтобы получить первые десять элементов этой последовательности, мы можем применить рекурсивное определение последовательности, начиная с первых двух элементов.

Применяя определение последовательности, получим:

у₀ = 0
у₁ = 1

Далее, чтобы получить у₂, мы можем использовать определение последовательности:

у₂ = 2у₀ + у₁
= 2 * 0 + 1
= 1

Уже зная значение у₁ и у₂, мы можем вычислить у₃:

у₃ = 2у₁ + у₂
= 2 * 1 + 1
= 3

Аналогично, вычисляем у₄, у₅, у₆, у₇, у₈, у₉ и у₁₀:

у₄ = 2у₂ + у₃
= 2 * 1 + 3
= 5

у₅ = 2у₃ + у₄
= 2 * 3 + 5
= 11

у₆ = 2у₄ + у₅
= 2 * 5 + 11
= 21

у₇ = 2у₅ + у₆
= 2 * 11 + 21
= 43

у₈ = 2у₆ + у₇
= 2 * 21 + 43
= 85

у₉ = 2у₇ + у₈
= 2 * 43 + 85
= 171

у₁₀ = 2у₈ + у₉
= 2 * 85 + 171
= 341

Таким образом, первые десять элементов последовательности у равны: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171 и 341.

б) В данной последовательности а определена рекурсивно таким образом: первые два элемента а₁ и а₂ равны 1, а каждый следующий элемент равен сумме двух предыдущих элементов: аₙ₊₂ = аₙ + аₙ₊₁.

Чтобы получить первые десять элементов этой последовательности, мы можем использовать рекурсивное определение, начиная с первых двух элементов.

Применяя определение последовательности, получим:

а₁ = 1
а₂ = 1

Далее, чтобы найти а₃, мы можем использовать определение последовательности:

а₃ = а₁ + а₂
= 1 + 1
= 2

Уже зная значения а₁ и а₂, мы можем вычислить а₄:

а₄ = а₂ + а₃
= 1 + 2
= 3

Аналогично, вычисляем а₅, а₆, а₇, а₈, а₉ и а₁₀:

а₅ = а₃ + а₄
= 2 + 3
= 5

а₆ = а₄ + а₅
= 3 + 5
= 8

а₇ = а₅ + а₆
= 5 + 8
= 13

а₈ = а₆ + а₇
= 8 + 13
= 21

а₉ = а₇ + а₈
= 13 + 21
= 34

а₁₀ = а₈ + а₉
= 21 + 34
= 55

Таким образом, первые десять элементов последовательности а равны: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и 55.

в) Последовательность а определена рекурсивно следующим образом: первый элемент а₁ равен 1, а каждый следующий элемент можно выразить математической формулой:

аₙ₊₁ = ((аₙ * (n+1))^(-1))^n

Чтобы получить первые десять элементов этой последовательности, мы можем использовать рекурсивное определение, начиная с первого элемента.

Применяя определение последовательности, получим:

а₁ = 1

Далее, чтобы найти а₂, мы можем использовать определение последовательности:

а₂ = ((а₁ * (2+1))^(-1))^1
= ((1 * 3)^(-1))^1
= (3^(-1))^1
= 1/3

Уже зная значение а₁ и а₂, мы можем вычислить а₃:

а₃ = ((а₂ * (3+1))^(-1))^2
= ((1/3 * 4)^(-1))^2
= (4/3)^(-2)
= (3/4)^2
= 9/16

Аналогично, вычисляем а₄, а₅, а₆, а₇, а₈, а₉ и а₁₀:

а₄ = ((а₃ * (4+1))^(-1))^3
= ((9/16 * 5)^(-1))^3
= (45/16)^(-3)
= (16/45)^3
= 4096/91125

а₅ = ((а₄ * (5+1))^(-1))^4
= ((4096/91125 * 6)^(-1))^4
= (24576/91125)^(-4)
= (91125/24576)^4

а₆ = ((а₅ * (6+1))^(-1))^5
= ((91125/24576 * 7)^(-1))^5
= (182250/24576)^(-5)
= (24576/182250)^5

а₇ = ((а₆ * (7+1))^(-1))^6
= ((24576/182250 * 8)^(-1))^6
= (196608/182250)^(-6)
= (182250/196608)^6

а₈ = ((а₇ * (8+1))^(-1))^7
= ((182250/196608 * 9)^(-1))^7
= (1640250/196608)^(-7)
= (196608/1640250)^7

а₉ = ((а₈ * (9+1))^(-1))^8
= ((196608/1640250 * 10)^(-1))^8
= (1966080/1640250)^(-8)
= (1640250/1966080)^8

а₁₀ = ((а₉ * (10+1))^(-1))^9
= ((1640250/1966080 * 11)^(-1))^9
= (18042750/1966080)^(-9)
= (1966080/18042750)^9

Таким образом, первые десять элементов последовательности а равны: 1, 1/3, 9/16, 4096/91125, (91125/24576)^4, (24576/182250)^5, (182250/196608)^6, (196608/1640250)^7, (1640250/1966080)^8 и (1966080/18042750)^9.