Разделить многочлен `F(x)` на многочлен `G(x)` с остатком. Записать равенство `F(x) = p(x) * G(x) + r(x)`, где `p(x)`

Хорошо. В первой задаче мы должны разделить многочлен `F(x) = x^3 + x^2 + 1` на многочлен `G(x) = x^4` с остатком.

Для начала, мы можем определить степень частного многочлена `p(x)` и многочлена остатка `r(x)`. Степень `p(x)` будет на единицу меньше степени `G(x)`, то есть 3. Степень `r(x)` будет строго меньше степени `G(x)`, то есть 4.

Теперь, чтобы найти многочлен `p(x)`, нам нужно поделить старший член `F(x)` на старший член `G(x)`. В данной задаче, старшие члены равны `x^3` и `x^4` соответственно. Результат деления будет равен `p(x) = x^(3-4) = x^(-1)`.

Перейдем к остатку. Для этого, нужно вычислить `F(x) - p(x) * G(x)`. Подставим значения `F(x)` и `G(x)`, и получим:

\[
r(x) = x^3 + x^2 + 1 - x^(-1) * x^4
\]

Чтобы записать эту формулу в более простой форме, мы можем упростить `x^(-1) * x^4` как `1`, так как `x^(-1)` можно рассматривать как `1/x`. Таким образом, получаем:

\[
r(x) = x^3 + x^2 + 1 - x^4
\]

Таким образом, мы получили деление многочлена `F(x) = x^3 + x^2 + 1` на многочлен `G(x) = x^4` с остатком. Равенство записывается как:

\[
F(x) = p(x) * G(x) + r(x) = x^(-1) * x^4 + x^3 + x^2 + 1 - x^4
\]

\[
F(x) = x^3 + x^2 + 1 - x^4
\]

Теперь мы можем проверить данное равенство, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые в правой части. Подобные слагаемые это те, у которых степень одинаковая.

В данном случае, все члены многочлена `r(x)` уже приведены и неподобные, так что мы не можем упростить его дальше. Полученное равенство `F(x) = p(x) * G(x) + r(x)` справедливо для заданных многочленов.

Таким образом, ответ на задачу а) будет:

\[
F(x) = x^3 + x^2 + 1 = x^(-1) * x^4 + x^3 + x^2 + 1 - x^4
\]