Р - центр описанной около треугольника АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает вписанную около этого треугольника

а) Для доказательства, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС, мы должны показать, что отрезок РО является радиусом этой окружности, то есть имеет одинаковую длину со всеми другими радиусами.

Давайте рассмотрим треугольники РАО и РСО, где Р — центр окружности, описанной около треугольника АВС, АОС. Заметим, что эти два треугольника имеют общую сторону РО, и каждый из них имеет ещё одну общую сторону, АР и РС соответственно.

Так как внешний угол треугольника равен сумме несмежных внутренних углов, то угол в точке Р треугольника РСО равен сумме углов треугольника РАО и угла в точке С треугольника АВС. Это означает, что угол СРО также равен углу АРО треугольника АОС.

Так как треугольники РАО и РСО имеют одну общую сторону РО и равные углы возле этой стороны (углы АРО и СРО), то по признаку равенства треугольников они равны друг другу. Следовательно, сторона АО равна стороне СО, и, как результат, окружности, описанные около треугольников АВС и АОС, имеют одинаковый радиус, так как этот радиус равен отрезку АО.

Таким образом, мы доказали, что точка Р является центром окружности, описанной около треугольника АОС.

б) Чтобы найти расстояние от Р до прямой АС (давайте обозначим его как d), мы можем воспользоваться свойством радиуса окружности, перпендикулярного к прямой, которая пересекает окружность в одной точке.

Мы знаем, что Р - центр окружности, описанной около треугольника АВС, и радиус этой окружности равен 14. Также мы знаем, что отрезок РО является радиусом этой окружности.

Используя это свойство, мы можем сказать, что отрезок РО перпендикулярен к прямой АС. Таким образом, расстояние от Р до прямой АС равно длине отрезка РО.

Поскольку Р - центр окружности, описанной около треугольника АВС, а вписанная около треугольника окружность пересекает прямую АС в точке О, то опять же по свойствам окружности можно сказать, что отрезок РО также будет равен радиусу вписанной окружности.

Таким образом, мы можем сказать, что расстояние от Р до прямой АС равно радиусу вписанной окружности.

Правило для вычисления радиуса вписанной окружности треугольника:
\[r = \frac{{2P}}{{a + b + c}}\]
где r - радиус вписанной окружности, P - площадь треугольника, a, b и c - длины сторон треугольника.

Это правило позволяет нам найти радиус вписанной окружности. В нашем случае, радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 14.

Поэтому, для вычисления расстояния от Р до прямой АС мы должны знать значения сторон треугольника АВС. Пожалуйста, уточните, что это за стороны, и я смогу вычислить расстояние точно.