Проверьте, является ли равенство 5p−qpq−1p+q⋅(pq−qp)=4q истинным. После преобразования левой части получим следующее

Давайте проверим данное равенство, пошагово преобразуя выражения и анализируя каждый шаг.

Исходное равенство: \(5p - qpq^{-1}p + q \cdot (pq - qp) = 4q\)

1. Разложим \(qpq^{-1}\) на \(q \cdot p \cdot q^{-1}\). Здесь мы используем свойство коммутативности умножения:
\(5p - q \cdot p \cdot q^{-1} \cdot p + q \cdot (pq - qp) = 4q\)

2. Раскроем скобки в последнем слагаемом \(q \cdot (pq - qp)\):
\(5p - q \cdot p \cdot q^{-1} \cdot p + pq^2 - q \cdot p^2 = 4q\)

3. Упростим выражение \(pq^2 - q \cdot p^2\) с помощью свойства дистрибутивности умножения относительно сложения:
\(5p - q \cdot p \cdot q^{-1} \cdot p + pq^2 - qp^2 = 4q\)

4. Преобразуем \(q^{-1} \cdot p\) в \(\frac{p}{q}\), так как \(q^{-1}\) равно \(\frac{1}{q}\):
\(5p - \frac{p}{q} \cdot p + pq^2 - qp^2 = 4q\)

5. Выполним умножение и возведение в степень:
\(5p - \frac{p^2}{q} + pq^2 - qp^2 = 4q\)

6. Сгруппируем члены с переменными \(p\) и \(q\):
\(5p + pq^2 - \frac{p^2}{q} - qp^2 = 4q\)

7. Перенесем все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение \(0 = 0\):
\(5p + pq^2 - \frac{p^2}{q} - qp^2 - 4q = 0\)

Таким образом, после всех преобразований мы получили уравнение \(0 = 0\), которое является тождественно истинным. Значит, исходное равенство \(5p - qpq^{-1}p + q \cdot (pq - qp) = 4q\) также является истинным.