Продолжите высказывания: 1) при увеличении радиуса круга в 3 раза, площадь круга увеличится … . 2) если длину

1) при увеличении радиуса круга в 3 раза, площадь круга увеличится 9 раз. Давайте это объясним пошагово.

Пусть исходный радиус круга равен \(r\), а его площадь равна \(S\). Формула для площади круга задается как \(S = \pi r^2\), где \(\pi\) - это математическая константа, примерно равная 3.1415.

Теперь, если увеличить радиус в 3 раза, новый радиус будет равен \(3r\). Подставляя новый радиус в формулу площади круга, получаем:
\[S" = \pi (3r)^2 = \pi 9r^2\]

Разделим новую площадь на исходную площадь, чтобы найти во сколько раз она увеличилась:
\[\frac{S"}{S} = \frac{\pi 9r^2}{\pi r^2} = 9\]

Таким образом, при увеличении радиуса круга в 3 раза, площадь круга увеличится в 9 раз.

2) если длину окружности уменьшить в 8 раз, то диаметр окружности уменьшится в 8 раз. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Формула для длины окружности задается как \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.1415, а \(r\) - радиус окружности.

Пусть исходная длина окружности равна \(C\), и ее диаметр равен \(d\). Связь между диаметром и радиусом задается формулой \(d = 2r\).

Если уменьшить длину окружности в 8 раз, то новая длина окружности будет равна \(\frac{C}{8}\). Диаметр новой окружности обозначим \(d"\).

Теперь применим формулу для длины окружности к новой окружности:
\(\frac{C}{8} = 2\pi r"\), где \(r"\) - радиус новой окружности.

Выразим из этой формулы радиус новой окружности:
\(r" = \frac{C}{16\pi}\)

Теперь заметим, что диаметр новой окружности будет равен удвоенному радиусу, то есть:
\(d" = 2r" = 2\frac{C}{16\pi} = \frac{C}{8\pi}\)

Сравним диаметр новой окружности с исходным диаметром:
\(\frac{d"}{d} = \frac{\frac{C}{8\pi}}{d} = \frac{\frac{C}{8\pi}}{2r} = \frac{\frac{C}{8\pi}}{2\frac{C}{2\pi}} = \frac{1}{8}\)

Таким образом, если длину окружности уменьшить в 8 раз, то диаметр окружности уменьшится в 8 раз.

3) при уменьшении площади круга в 4 раза, радиус круга уменьшится в 2 раза.

Допустим, исходный радиус круга равен \(r\), а его площадь - \(S\). Формула для площади круга задается как \(S = \pi r^2\).

Если уменьшить площадь круга в 4 раза, новая площадь будет равна \(\frac{S}{4}\). Обозначим новый радиус как \(r"\).

Теперь подставим новую площадь и новый радиус в формулу площади круга:
\(\frac{S}{4} = \pi (r")^2\)

Разделим обе части равенства на \(\pi\):
\(\frac{S}{4\pi} = (r")^2\)

Извлекая квадратный корень, получаем:
\(r" = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

Полученное выражение показывает, что если площадь круга уменьшится в 4 раза, радиус круга уменьшится в 2 раза.

4) если длину окружности уменьшить в 6 раз, то площадь соответствующего круга уменьшится в 36 раз.

Пусть исходная длина окружности равна \(C\), а соответствующая площадь круга - \(S\). Применяем формулы для длины окружности и площади круга: \(C = 2\pi r\) и \(S = \pi r^2\).

Если уменьшить длину окружности в 6 раз, новая длина окружности будет равна \(\frac{C}{6}\). Обозначим новую площадь как \(S"\).

Теперь подставим новую длину окружности в формулу для площади окружности:
\(S" = \pi r^2"\), где \(r"\) - радиус нового круга.

Из формулы для длины окружности, выразим радиус \(r\) через исходную длину окружности:
\(r = \frac{C}{2\pi}\)

Теперь подставим это выражение для радиуса в формулу для новой площади:
\(S" = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \pi \frac{C^2}{4\pi^2} = \frac{C^2}{4\pi}\)

Разделим полученную новую площадь на исходную площадь:
\(\frac{S"}{S} = \frac{\frac{C^2}{4\pi}}{\pi r^2} = \frac{\frac{C^2}{4\pi}}{\pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2} = \frac{C^2}{4\pi} \cdot \frac{4\pi^2}{C^2} = 4\pi\)

Таким образом, если длину окружности уменьшить в 6 раз, то площадь соответствующего круга уменьшится в 36 раз.

5) при увеличении площади круга в 9 раз, радиус круга увеличится в 3 раза.

Допустим, исходный радиус круга равен \(r\), а его площадь - \(S\). Формула для площади круга задается как \(S = \pi r^2\).

Если увеличить площадь круга в 9 раз, новая площадь будет равна \(9S\). Обозначим новый радиус как \(r"\).

Теперь подставим новую площадь и новый радиус в формулу площади круга:
\(9S = \pi (r")^2\)

Разделим обе части равенства на \(\pi\):
\(\frac{9S}{\pi} = (r")^2\)

Извлекая квадратный корень, получаем:
\(r" = \sqrt{\frac{9S}{\pi}} = 3\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

Полученное выражение показывает, что если площадь круга увеличится в 9 раз, радиус круга увеличится в 3 раза.

6) при увеличении площади круга в 144 раза, длина соответствующей окружности увеличится в 12 раз.

Пусть исходная площадь круга равна \(S\), а соответствующая длина окружности - \(C\). Применяем формулы для площади и длины окружности: \(S = \pi r^2\) и \(C = 2 \pi r\).

Если увеличить площадь круга в 144 раза, новая площадь будет равна \(144S\). Обозначим новую длину окружности как \(C"\).

Теперь подставим новую площадь в формулу для площади круга:
\(144S = \pi r^2"\), где \(r"\) - радиус нового круга.

Из формулы для площади, выразим радиус \(r\) через исходную площадь:
\(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

Теперь подставим это выражение для радиуса в формулу для новой площади:
\(144S = \pi (r")^2 = \pi \left(\sqrt{\frac{S}{\pi}}\right)^2 = \pi \frac{S}{\pi} = S\)

Таким образом, получаем, что новая площадь остаётся равной исходной площади \(S\).

Теперь применим формулу для длины окружности:
\(C" = 2 \pi r" = 2 \pi \sqrt{\frac{S}{\pi}} = 2 \sqrt{\pi S}\)

Сравним новую длину окружности с исходной длиной окружности:
\(\frac{C"}{C} = \frac{2 \sqrt{\pi S}}{2 \pi r} = \frac{\sqrt{\pi S}}{\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}}} = \frac{\sqrt{\pi S}}{\sqrt{\pi S}} = 1\)

Таким образом, при увеличении площади круга в 144 раза, длина соответствующей окружности остается равной исходной длине.

Ответы на вопросы:
1) 9 раз
2) в 8 раз
3) в 2 раза
4) 36 раз
5) в 3 раза
6) в 12 раз