Какое максимальное шестизначное число кратно 9, имеет все различные цифры и первая цифра (в разряде сотен тысяч) равна?

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы должны понять условия, которые нам даны и применить соответствующие математические концепции.

Условие задачи говорит, что число должно быть шестизначным и кратным 9. Это означает, что сумма всех его цифр также должна быть кратной 9.

Из условия видно, что первая цифра (в разряде сотен тысяч) задана, но остальные цифры могут быть любыми и должны быть различными. Это ограничение означает, что мы должны выбрать пять различных цифр из оставшихся девяти цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Теперь мы можем начать пошагово решать задачу.

Шаг 1: Рассмотрим первую цифру нашего шестизначного числа. У нас есть только один вариант для этой цифры, так как она задана в условии.

Шаг 2: Рассмотрим оставшиеся пять цифр. Мы должны выбрать пять различных цифр из девяти возможных. Это можно сделать, используя комбинаторику. Количество способов выбрать пять различных цифр из девяти можно вычислить с помощью формулы "количество сочетаний":

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество цифр (9) и \(k\) - количество выбираемых цифр (5).

Применяя данную формулу, мы можем рассчитать количество возможных комбинаций для выбора пяти различных цифр.

\(\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!}\).

Рассчитав это выражение, мы получаем:

\(\binom{9}{5} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126\).

Таким образом, у нас есть 126 способов выбрать пять различных цифр.

Шаг 3: Поскольку сумма всех цифр числа должна быть кратной 9, мы знаем, что сумма первой цифры и остальных пяти цифр должна быть кратной 9.

Теперь нам нужно рассмотреть комбинацию выбранных цифр и их сумму. Для этого мы можем использовать подход перебора всех возможных комбинаций. Ниже приведены все комбинации цифр, сумма которых кратна 9:

1. 1, 2, 3, 4, 5: сумма = 15

2. 1, 2, 3, 4, 6: сумма = 16

3. 1, 2, 3, 4, 7: сумма = 17

4. 1, 2, 3, 4, 8: сумма = 18

5. 1, 2, 3, 5, 6: сумма = 17

6. 1, 2, 3, 5, 7: сумма = 18

7. 1, 2, 3, 5, 8: сумма = 19

8. 1, 2, 3, 6, 7: сумма = 19

9. 1, 2, 3, 6, 8: сумма = 20

10. 1, 2, 3, 7, 8: сумма = 21

11. 1, 2, 4, 5, 6: сумма = 18

12. 1, 2, 4, 5, 7: сумма = 19

13. 1, 2, 4, 5, 8: сумма = 20

14. 1, 2, 4, 6, 7: сумма = 20

15. 1, 2, 4, 6, 8: сумма = 21

16. 1, 2, 4, 7, 8: сумма = 22

17. 1, 2, 5, 6, 7: сумма = 21

18. 1, 2, 5, 6, 8: сумма = 22

19. 1, 2, 5, 7, 8: сумма = 23

20. 1, 2, 6, 7, 8: сумма = 24

Мы можем продолжить перебор всех возможных комбинаций, но, как видно из списка, все суммы начинаются с 15 или более.

Так как нам нужно максимальное числo, удовлетворяющее всем условиям, мы можем выбрать комбинацию, сумма которой равна 18 - это комбинация 1, 2, 3, 4, 8.

Таким образом, максимальное шестизначное число, удовлетворяющее всем условиям задачи и имеющее первую цифру равную 1, - это число 182,384.

Теперь мы можем удостовериться, что это число кратно 9 и имеет все различные цифры:

1 + 8 + 2 + 3 + 8 + 4 = 26.

26 не кратно 9, а значит наше предположение было неверным. Давайте удалим число 1 из первой позиции и будем продолжать перебирать комбинации, пока не найдем максимальное число, удовлетворяющее всем условиям.