Проаналізуйте функцію та намалюйте її графік у вигляді y=2x^6-6x^2

Конечно! Давайте проанализируем данную функцию, а затем нарисуем её график.

Итак, данная функция задана выражением \(y = 2x^6 - 6x^2\). Чтобы провести анализ функции, мы рассмотрим следующие аспекты: область определения, особые точки, поведение при \(x \to \pm \infty\), асимптоты, экстремумы и график функции.

1. Область определения:
Функция \(y = 2x^6 - 6x^2\) определена для любого значения \(x\), так как в выражении нет ограничений или запретов на определенные значения.

2. Особые точки:
Особые точки функции - это значения \(x\), для которых функция не определена или имеет какие-либо особенности. В данной функции особыми точками являются только точки, в которых происходят экстремумы функции.

3. Поведение при \(x \to \pm \infty\):
Когда \(x\) стремится к положительной или отрицательной бесконечности, мы можем рассмотреть ведущий член выражения \(2x^6\). Он является старшим по степени членом и доминирует над остальными слагаемыми. Таким образом, если \(x\) стремится к положительной или отрицательной бесконечности, то функция также будет стремиться к положительной или отрицательной бесконечности соответственно.

4. Асимптоты:
Построим график функции и рассмотрим его поведение около вертикальных (вида \(x = a\)) и горизонтальных (вида \(y = b\)) асимптот.

5. Экстремумы:
Чтобы найти экстремумы функции, найдём её производную и приравняем её к нулю:
\[y" = 12x^5 - 12x = 0\]
Факторизуем это выражение:
\[12x(x^4 - 1) = 0\]
Найдём значения \(x\), при которых \(y" = 0\):
\[x = 0, \quad x = \pm 1\]
Теперь найдём значения функции при этих точках:
\[y(0) = 0, \quad y(1) = -4, \quad y(-1) = -4\]
Таким образом, у функции имеется один локальный максимум в точке \((1, -4)\) и один локальный минимум в точке \((-1, -4)\).

Теперь построим график функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 20 \\
-1 & -4 \\
0 & 0 \\
1 & -4 \\
2 & 20 \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{align*}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin = -3,
xmax = 3,
ymin = -30,
ymax = 30
]
\addplot [
domain = -2.2:2.2,
samples = 100,
color = blue
]
{2*x^6 - 6*x^2};
\addplot [
mark = *,
only marks,
color = red,
mark size = 3pt
]
table {
-1 -4
1 -4
0 0
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы провели анализ функции \(y = 2x^6 - 6x^2\) и нарисовали её график, учитывая все необходимые аспекты. Надеюсь, что данная информация поможет вам лучше понять эту функцию. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!