Приведите выражение, определяющее площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке 1.55. Предположим

Для определения площади ступенчатой фигуры нужно разбить эту фигуру на прямоугольники и сложить площади этих прямоугольников.

Посмотрите на ступенчатую фигуру на рисунке 1.55. Мы видим, что фигура состоит из нескольких ступенек, причем каждая ступенька является квадратом и имеет одинаковый размер. Давайте обозначим длину стороны квадрата как \(a\).

Первая ступенька находится ниже фигуры и имеет длину стороны \(a\). Ее площадь равна \(a^2\).

Вторая ступенька находится выше первой и имеет длину стороны \(2a\). Ее площадь равна \((2a)^2 = 4a^2\).

Третья ступенька находится выше второй и имеет длину стороны \(3a\). Ее площадь равна \((3a)^2 = 9a^2\).

Продолжая таким же образом, мы видим, что каждая следующая ступенька будет иметь длину стороны, увеличенную на \(a\), а площадь каждой ступеньки будет равна квадрату длины ее стороны.

Таким образом, площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке 1.55, можно определить как сумму площадей всех ступенек:

\[S = a^2 + 4a^2 + 9a^2 + \ldots + (n^2 \cdot a^2)\]

Здесь \(n\) - количество ступенек фигуры.

Формулу для суммы квадратов натуральных чисел можно использовать для упрощения этого выражения:

\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

Учитывая, что в данной фигуре количество ступенек равно \(n\), площадь можно выразить как:

\[S = a^2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

Это и есть выражение, определяющее площадь ступенчатой фигуры на рисунке 1.55.