Приведите полином к стандартной форме и определите его степень: а) 4a^2b + 5ab^2 + ab^2 + 3ab^2; б) 5a^3 - 7a^3 - 20x^3

a) Полином \(4a^2b + 5ab^2 + ab^2 + 3ab^2\) можно привести к стандартной форме, объединив одночлены с одинаковыми степенями. Распишем каждый одночлен отдельно и сложим их:
\[4a^2b + 5ab^2 + ab^2 + 3ab^2 = (4 + 1)a^2b + (5 + 1 + 3)ab^2 = 5a^2b + 9ab^2.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \(5a^2b + 9ab^2\). Его степень равна 2, так как наибольшая степень переменной \(a\) в полиноме составляет 2, а наибольшая степень переменной \(b\) составляет 2.

б) Полином \(5a^3 - 7a^3 - 20x^3 - a^3x - ax^3\) также можно привести к стандартной форме, объединяя одночлены:
\[5a^3 - 7a^3 - 20x^3 - a^3x - ax^3 = (5 - 7 - 1)a^3 + (-20 - x - 1)x^3 = -3a^3 - (x + 21)x^3.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \(-3a^3 - (x + 21)x^3\). Его степень равна 3, так как наибольшая степень переменной \(a\) в полиноме составляет 3, а наибольшая степень переменной \(x\) составляет 3.

в) Полином \(3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - ax\) можно привести к стандартной форме, объединив одночлены:
\[3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - ax = (-3a^2 - a)x + (3 - 7)a^2x^2 + 3ax^2 = -4ax - 4a^2x^2 + 3ax^2.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \(-4ax - 4a^2x^2 + 3ax^2\). Его степень равна 2, так как наибольшая степень переменной \(x\) в полиноме составляет 2, а наибольшая степень переменной \(a\) составляет 2.

г) Полином \(673 - pn^3 + pn^3 + 12n^3p^2 + 2n^3\) приведем к стандартной форме, объединяя одночлены:
\[673 - pn^3 + pn^3 + 12n^3p^2 + 2n^3 = 673 + (p - p)n^3 + 12n^3p^2 = 673 + 12n^3p^2.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \(673 + 12n^3p^2\). Его степень равна 3, так как наибольшая степень переменной \(n\) в полиноме составляет 3, а наибольшая степень переменной \(p\) составляет 2.

д) Полином \(7a^3 - 8ab^2a^2 + 3a^2 - 4b\) приведем к стандартной форме, объединяя одночлены:
\[7a^3 - 8ab^2a^2 + 3a^2 - 4b = 7a^3 + (3a^2 - 8a^2b^2) - 4b.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \(7a^3 + (3a^2 - 8a^2b^2) - 4b\). Его степень равна 3, так как наибольшая степень переменной \(a\) в полиноме составляет 3, а наибольшая степень переменной \(b\) составляет 2.

е) Полином \(x^5 - 7y^2 + 3y^2x^4 + 2x - 1\) приведем к стандартной форме, объединяя одночлены:
\[x^5 - 7y^2 + 3y^2x^4 + 2x - 1 = (x^5 + 3y^2x^4) + (-7y^2 + 2x - 1).\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \((x^5 + 3y^2x^4) + (-7y^2 + 2x - 1)\). Его степень равна 5, так как наибольшая степень переменной \(x\) в полиноме составляет 5, а наибольшая степень переменной \(y\) составляет 2.

ж) Полином \(ac + 2abc - Ta^2 + 3ca - 3cab\) приведем к стандартной форме, объединяя одночлены:
\[ac + 2abc - Ta^2 + 3ca - 3cab = (ac + 3ca) + 2abc - 3cab - Ta^2.\]

Таким образом, полином приводится к стандартной форме \((ac + 3ca) + 2abc - 3cab - Ta^2\). Его степень равна 2, так как наибольшая степень переменной \(a\) в полиноме составляет 2, а наибольшая степень переменной \(c\) составляет 1.