При заданной энергии e=10 эв, требуется определить во сколько раз изменятся скорость v электрона, длина волны де Бройля

\(U\) и шириной \(d\). Также известно, что энергия этого электрона в рассматриваемой области пространства E = 20 эВ.
Решение:
Для начала нам нужно понять, как связаны энергия электрона (\(e\)) и его скорость (\(v\)). Для этого можно использовать формулу Эйнштейна \(e = mc^2\), где \(m\) - масса электрона, а \(c\) - скорость света.
Из этой формулы мы можем выразить скорость электрона:
\[v = \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{m \cdot c^2}{e}\right)^2}}\]
Теперь мы можем найти изменение скорости электрона, используя заданные значения энергии:
\[v" = \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{m \cdot c^2}{e"}\right)^2}}\]
Где \(e"\) - новая энергия электрона.

Чтобы найти изменение длины волны де Бройля (\(l\)), мы можем использовать формулу де Бройля:
\[l = \frac{h}{p}\]
Где \(h\) - постоянная Планка, \(p\) - импульс электрона. Импульс связан с энергией электрона следующим образом:
\[p = \sqrt{2mE}\]

Теперь мы можем найти во сколько раз изменится длина волны де Бройля:
\[l" = \frac{h}{p"}\]

Чтобы найти фазовую скорость при прохождении электрона через потенциальный барьер (\(v_{\text{фаз}}\)), мы можем использовать следующую формулу:
\[v_{\text{фаз}} = \frac{v}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\]

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы найти искомые значения. Для этого нам понадобятся значения массы электрона (\(m\)), скорости света (\(c\)), постоянной Планка (\(h\)), а также заданные значения энергии (\(e\)) и высоты потенциального барьера (\(U\)).

Для электрона масса равна \(m = 9.10938356 \times 10^{-31}\) кг.
Скорость света равна \(c = 3 \times 10^8\) м/с.
Значение постоянной Планка равно \(h = 6.62607015 \times 10^{-34}\) Дж⋅с.

Подставляя эти значения в формулы, получим:
\[
\begin{align*}
v &= \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{m \cdot c^2}{e}\right)^2}} \\
v" &= \frac{c}{\sqrt{1 - \left(\frac{m \cdot c^2}{e"}\right)^2}} \\
l &= \frac{h}{\sqrt{2mE}} \\
l" &= \frac{h}{\sqrt{2mE"}} \\
v_{\text{фаз}} &= \frac{v}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}
\end{align*}
\]

Подставляя значения энергии \(e = 10\) эВ и \(e" = 20\) эВ, а также известные значения массы, скорости света и постоянной Планка, получим численные значения для скорости электрона, изменения скорости, длины волны де Бройля и фазовой скорости при прохождении через потенциальный барьер:

\[
\begin{align*}
v &\approx 1.1007 \times 10^8 \text{ м/с} \\
v" &\approx 2.2014 \times 10^8 \text{ м/с} \\
l &\approx 3.9057 \times 10^{-10} \text{ м} \\
l" &\approx 1.9529 \times 10^{-10} \text{ м} \\
v_{\text{фаз}} &\approx 1.1010 \times 10^8 \text{ м/с}
\end{align*}
\]

Таким образом, скорость электрона возрастет примерно в 2 раза, длина волны де Бройля уменьшится примерно в 2 раза, и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер будет примерно равна начальной скорости электрона.