При якому діаметрі сталевого троса механічна напруга залишиться нижче 60МПа при рівномірному переміщенні вантажу масою

Дано: максимально допустимая механическая напряженность \(\sigma = 60 \, \text{МПа}\), масса груза \(m = 2 \, \text{т}\).

Так как у нас есть масса груза, мы можем использовать формулу для расчета силы, действующей на трос:

\[ F = m \cdot g \]

где \( F \) - сила, \( m \) - масса, \( g \) - ускорение свободного падения (\( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 \)).

Для того, чтобы найти диаметр троса, мы можем воспользоваться формулой, связывающей напряжение и силу:

\[ \sigma = \frac{{F \cdot S}}{{\pi \cdot R^2}} \]

где \( \sigma \) - напряжение, \( F \) - сила, \( S \) - площадь поперечного сечения троса, \( R \) - радиус троса.

Мы знаем, что площадь поперечного сечения круга вычисляется по формуле:

\[ S = \pi \cdot R^2 \]

Теперь у нас есть две формулы, и мы можем их объединить:

\[ \sigma = \frac{{F \cdot \pi \cdot R^2}}{{\pi \cdot R^2}} \]

Если упростить это выражение, получим:

\[ \sigma = \frac{{F}}{{S}} \]

Теперь мы можем найти площадь поперечного сечения троса:

\[ S = \frac{{F}}{{\sigma}} \]

Подставим значение силы:

\[ S = \frac{{m \cdot g}}{{\sigma}} \]

Мы знаем, что площадь поперечного сечения троса связана с его радиусом следующим образом:

\[ S = \pi \cdot R^2 \]

Подставим значение площади в выражение:

\[ \pi \cdot R^2 = \frac{{m \cdot g}}{{\sigma}} \]

Чтобы найти радиус троса, возьмём квадратный корень от обоих частей уравнения:

\[ R = \sqrt{\frac{{m \cdot g}}{{\pi \cdot \sigma}}} \]

Подставим значения массы груза и ускорения свободного падения:

\[ R = \sqrt{\frac{{2 \, \text{тонны} \cdot 9{,}8 \, \text{м/с}^2}}{{\pi \cdot 60 \, \text{МПа}}}} \]

Выполняя расчёты, получаем:

\[ R \approx 0.029 \, \text{м} \]

Таким образом, диаметр сталевого троса, при котором механическое напряжение будет ниже 60 МПа при равномерном перемещении груза массой 2 тонны, составляет примерно 0.058 метра или 58 мм.