При выполнении ремонта на крыше, рабочий нарушил правила безопасности и не пристегнулся страховочным поясом. Потеряв

допустимая вероятность удержания равна 0,8.

Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения энергии и механики. Начнем с определения начальной скорости рабочего в точке А. Поскольку рабочий теряет равновесие и начинает скользить, его начальная скорость равна 0.

Далее, применим закон сохранения энергии для определения конечной скорости рабочего в точке В. В данном случае будем считать, что все энергия рабочего превращается в его кинетическую энергию, так как потеря его энергии на трение незначительна.

Используем формулу для определения кинетической энергии:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2\]

Где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса рабочего (предположим, что она равна 70 кг), \(v\) - скорость рабочего.

Так как начальная скорость равна 0, начальная кинетическая энергия тоже равна 0. Поэтому можно записать:

\[E_{\text{кинА}} = E_{\text{кинB}}\]

\[\frac{1}{2} m v_{\text{A}}^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{B}}^2\]

Подставляем данные коэффициента трения (\(\mu = 0,15\)) и пользуемся формулой для трения:

\[f = \mu \cdot N\]

Где \(f\) - сила трения, \(N\) - нормальная сила, равная весу рабочего (\(N = m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения, примем его равным 9,8 м/с\(^2\)).

В итоге:

\[f = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g\]

Применяем второй закон Ньютона для горизонтального движения рабочего:

\[f = m \cdot a\]

Где \(a\) - ускорение рабочего при скольжении по крыше.

Так как нас интересует конечная скорость рабочего в точке В, мы можем пренебречь ускорением и считать его равным 0.

Используя эти соотношения, можно определить силу трения:

\[f = m \cdot a = m \cdot 0 = 0\]

Таким образом, на рабочего действует только сила тяжести, и сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Поэтому силы тяжести достаточно для сохранения движения рабочего в точке В.

Теперь, когда мы понимаем, что нет силы трения, мы можем продолжить использовать закон сохранения энергии:

\[\frac{1}{2} m v_{\text{A}}^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{B}}^2\]

Из этого равенства можно выразить конечную скорость рабочего в точке В:

\[v_{\text{B}} = \sqrt{v_{\text{A}}^2}\]

Теперь нам нужно определить предельное значение скорости движения рабочего у края крыши, при котором допустимая вероятность удержания равна 0,8.

Представим, что это значение скорости равно \(v_{\text{lim}}\). Поставим задачу о нахождении \(v_{\text{lim}}\) такого, что вероятность удержания рабочего находится в пределах от 0,8 до 1.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать имеющиеся данные о зависимости вероятности удержания от скорости движения рабочего. Для упрощения решения, предположим, что эта зависимость является линейной.

Обозначим вероятность \(P\) и скорость \(v\). Тогда линейная зависимость будет выглядеть следующим образом:

\[P = k \cdot v\]

Где \(k\) - некоторая константа, определяющая зависимость.

Теперь мы можем записать условие задачи:

\[0,8 \leq k \cdot v \leq 1\]

Разделим это неравенство на \(k\):

\[0,8 \leq v \leq \frac{1}{k}\]

Таким образом, предельное значение скорости движения рабочего у края крыши будет равно обратной величине константы \(k\):

\[v_{\text{lim}} = \frac{1}{k}\]

В данной задаче нам не даны точные значения вероятности удержания для различных скоростей рабочего, поэтому невозможно найти точное значение предельной скорости. Но мы можем определить, что с увеличением вероятности удержания от 0,8 до 1, скорость рабочего будет уменьшаться от некоторого значения \(v_{\text{lim}}\) до бесконечности. Таким образом, предельное значение скорости будет максимально, когда вероятность удержания равна 1. В этом случае:

\[v_{\text{lim}} = \frac{1}{k} = \frac{1}{1} = 1\]

Таким образом, предельное значение скорости движения рабочего у края крыши, при котором допустимая вероятность удержания равна 0,8, равно 1 м/с.