При каком значении m векторы a и b станут ортогональными?

Для того чтобы выяснить при каком значении m векторы a и b станут ортогональными, нужно воспользоваться определением ортогональности векторов. Векторы a и b будут ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов a и b обозначается как \(a \cdot b\) и вычисляется по формуле:
\[a \cdot b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

Где \(a_1, a_2, a_3\) - компоненты вектора a, а \(b_1, b_2, b_3\) - компоненты вектора b.

Используя данную формулу, мы можем записать скалярное произведение векторов a и b:
\[a \cdot b = (2m + 1) \cdot (3m - 2) + (m - 1) \cdot (-5m - 3) + (-4m + 2) \cdot (-m + 4) \]

Далее будем упрощать данное выражение:
\[a \cdot b = (2m + 1) \cdot (3m - 2) - (m - 1) \cdot (5m + 3) + (4m - 2) \cdot (m - 4) \]
\[a \cdot b = 6m^2 - 4m + 3m - 2 - 5m^2 - 3m - m + 1 + 4m^2 - 8m + 2 \]
\[a \cdot b = 6m^2 - 5m^2 + 4m^2 - 4m - 3m - m - 8m + 3 + 1 + 2 \]
\[a \cdot b = 5m^2 - 12m + 6 \]

Мы получили выражение для скалярного произведения векторов a и b. Чтобы найти значение m, при котором векторы a и b станут ортогональными, нужно приравнять данное выражение к нулю и решить полученное уравнение:

\[5m^2 - 12m + 6 = 0 \]

Можно решить это уравнение с помощью факторизации или формулы:
\[m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Для нашего уравнения коэффициенты равны:
\[a = 5, b = -12, c = 6 \]

Подставляя значения в формулу получаем:
\[m = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6}}{2 \cdot 5} \]
\[m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{10} \]
\[m = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{10} \]
\[m = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{10} \]

Таким образом, значения m, при которых векторы a и b становятся ортогональными, равны:
\[m_1 = \frac{12 + 2\sqrt{6}}{10} \]
\[m_2 = \frac{12 - 2\sqrt{6}}{10} \]

Скалярное произведение векторов a и b будет равно нулю при этих значениях m.