1. Сделайте доказательство, что четырёхугольная призма является параллелепипедом, учитывая то, что одна

Давайте разберем первую задачу.

1. Доказательство того, что четырехугольная призма является параллелепипедом, основывается на свойствах ее диагоналей и граней.

Дано: Четырехугольная призма, у которой одна из ее диагоналей пересекает три другие диагонали призмы.

Доказательство:
Шаг 1: Покажем, что все грани параллелограммы.
- Рассмотрим две грани призмы, через которые проходят диагонали, включая их пересечение. По определению параллелограмма, противоположные стороны параллельны и равны.
- Так как диагонали пересекаются на одной точке, то все четыре грани, через которые проходят диагонали, являются параллелограммами.
- Таким образом, каждая грань призмы является параллелограммом.

Шаг 2: Покажем, что противоположные грани параллельны и равны.
- Обратимся к свойству параллелограммов о равных и параллельных диагоналях: диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны и делят друг друга пополам.
- Рассмотрим две параллельные грани призмы, через которые не проходят диагонали. Так как диагонали пересекаются на одной точке, их длины равны.
- Следовательно, противоположные грани параллельны и имеют равную площадь.

Шаг 3: Покажем, что углы между гранями призмы прямые.
- Диагонали призмы делят пространство внутри призмы на шесть треугольников.
- Диагонали, проходящие через противоположные вершины каждого треугольника, являются диагоналями параллелограммов и делят их на равные треугольники.
- Таким образом, все углы между гранями призмы являются прямыми углами.

Итак, мы доказали, что все грани призмы являются параллелограммами, противоположные грани параллельны и равны, а углы между гранями призмы прямые углы. Следовательно, четырехугольная призма является параллелепипедом.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Докажем, что плоскость сечения треугольной призмы, не совпадающая с ее гранью, является параллелограммом и параллельна боковым ребрам призмы.

Дано: Треугольная призма и плоскость сечения, не совпадающая с ее гранью.

Доказательство:
Шаг 1: Покажем, что сечение плоскости с параллелограммом.
- Поскольку плоскость сечения не совпадает с гранью призмы, она пересекает боковые ребра призмы.
- Так как плоскость сечения пересекает ребра призмы, она должна образовывать фигуру, которую обычно называют сечением.
- В треугольной призме сечение, не совпадающее с гранью, будет параллелограммом, так как каждая его сторона параллельна соответствующему боковому ребру и равна ему.

Шаг 2: Покажем, что плоскость сечения параллельна боковым ребрам призмы.
- Плоскость сечения и боковые ребра призмы лежат в одной взаимно-параллельной плоскости.
- Параллелограмм, который образует сечение, имеет соответствующие стороны параллельные и равные боковым ребрам.
- Значит, плоскость сечения параллельна боковым ребрам призмы.

Таким образом, мы доказали, что плоскость сечения треугольной призмы, не совпадающая с ее гранью, является параллелограммом и параллельна боковым ребрам призмы.