При каком значении k векторы a (2,-6,8) и b(-1,k,-4) будут 1) параллельными 2) ортогональными?

Чтобы определить, при каком значении \(k\) векторы \(a\) и \(b\) будут параллельными, нужно учесть, что два вектора параллельны, если они коллинеарны, то есть один вектор является кратным другого.

Для начала, возьмем координаты векторов \(a\) и \(b\) и проверим существование такого числа \(k\), при котором они будут коллинеарны.

Координаты вектора \(a\) равны (2, -6, 8), а координаты вектора \(b\) равны (-1, \(k\), -4).

Предположим, что векторы \(a\) и \(b\) коллинеарны. Тогда существует такое число \(m\), что каждый элемент вектора \(b\) можно получить, умножив соответствующий элемент вектора \(a\) на это число, то есть:

\[
-1 = 2m, \quad k = -6m, \quad -4 = 8m
\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значение \(m\). Решим систему пошагово:

1) Из первого уравнения получаем, что \(m = -\frac{1}{2}\).
2) Подставив значение \(m\) во второе уравнение, получаем \(k = \frac{3}{2}\).
3) Подставив значение \(m\) в третье уравнение, получаем \(m = -\frac{1}{2}\).

Таким образом, при значении \(k = \frac{3}{2}\) векторы \(a\) и \(b\) будут параллельными.

Теперь, чтобы определить, при каком значении \(k\) векторы \(a\) и \(b\) будут ортогональными, нам нужно учесть, что ортогональные векторы должны иметь скалярное произведение, равное нулю.

Скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) равно:

\[
(2)(-1) + (-6)(k) + (8)(-4) = -2 -6k -32 = -34 -6k
\]

Чтобы найти значение \(k\), при котором это скалярное произведение равно нулю, решим уравнение:

\[
-34 - 6k = 0
\]

1) Прибавим 34 к обеим сторонам: \(- 6k = 34\)
2) Разделим обе стороны на -6: \(k = -\frac{34}{6}\)

Упростим это значение:

\(k = -\frac{17}{3}\)

Поэтому, при значении \(k = -\frac{17}{3}\) векторы \(a\) и \(b\) будут ортогональными.

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как определить значения \(k\), при которых векторы \(a\) и \(b\) будут параллельными и ортогональными. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.