При каком значении альфа будет равна 3 корня из 10 длина вектора ab? Координаты точек: a(2; 3; 4), b(9

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить длину вектора \( ab \), используя координаты точек \( a \) и \( b \), а также значение параметра \( \alpha \).

Длина вектора \( ab \) может быть найдена с помощью формулы:

\[ |ab| = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2} \]

где \( x_a, y_a, z_a \) - это координаты точки \( a \), а \( x_b, y_b, z_b \) - это координаты точки \( b \).

Таким образом, подставляя данные координаты точек \( a(2; 3; 4) \) и \( b(9; \alpha; 10) \) в формулу длины вектора, получим:

\[ |ab| = \sqrt{(9 - 2)^2 + (\alpha - 3)^2 + (10 - 4)^2} \]

Учитывая, что длина вектора равна \( 3 \sqrt{10} \), можем записать равенство:

\[ 3 \sqrt{10} = \sqrt{(9 - 2)^2 + (\alpha - 3)^2 + (10 - 4)^2} \]

Для нахождения значения \( \alpha \) необходимо возвести обе части этого равенства в квадрат:

\[ (3 \sqrt{10})^2 = [(9 - 2)^2 + (\alpha - 3)^2 + (10 - 4)^2] \]

Упрощаем:

\[ 90 = 49 + (\alpha - 3)^2 + 36 \]

Вычитаем \( 49 \) и \( 36 \) из обеих частей уравнения:

\[ 90 - 49 - 36 = (\alpha - 3)^2 \]

Подсчитываем:

\[ 5 = (\alpha - 3)^2 \]

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[ \sqrt{5} = \alpha - 3 \]

\[ \alpha = 3 + \sqrt{5} \]

Таким образом, при значении \( \alpha = 3 + \sqrt{5} \), длина вектора \( ab \) будет равна \( 3 \sqrt{10} \).