При каком объеме продаж монополист достигнет наибольшей прибыли, если функция спроса на его продукцию описывается

Дана функция спроса на продукцию монополиста: \(p = 120 - 0.5q\), где \(p\) - цена продукта, а \(q\) - объем продаж.

Также, дана функция общих затрат монополиста: \(TC = 12 + 5q\), где \(TC\) - общие затраты, а \(q\) - объем продаж.

Для определения объема продаж, при котором монополист достигнет наибольшей прибыли, нам необходимо найти максимум функции прибыли.

Прибыль монополиста можно определить, вычитая общие затраты из выручки: \(Profit = Revenue - TC\).

Выручку можно найти, умножив цену продукта на объем продаж: \(Revenue = p \cdot q\).

Тогда, прибыль монополиста будет:

\[Profit = Revenue - TC = (p \cdot q) - (12 + 5q)\]

Подставим выражение для \(p\) из функции спроса:

\[Profit = ((120 - 0.5q) \cdot q) - (12 + 5q)\]

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

\[Profit = 120q - 0.5q^2 - 12 - 5q\]

Далее, найдем производную функции прибыли по \(q\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума. Найденная точка будет соответствовать объему продаж, при котором монополист достигнет наибольшей прибыли.

\[\frac{{dProfit}}{{dq}} = 120 - q - 5 = 0\]

Решаем уравнение:

\[120 - q - 5 = 0\]
\[q = 120 - 5\]
\[q = 115\]

Получили, что точка экстремума функции прибыли находится при \(q = 115\).

Осталось найти соответствующую цену продукта \(p\) для данного объема продаж, подставив \(q = 115\) в функцию спроса:

\[p = 120 - 0.5q\]
\[p = 120 - 0.5 \cdot 115\]
\[p = 120 - 57.5\]
\[p = 62.5\]

Итак, при объеме продаж \(q = 115\) монополист достигнет наибольшей прибыли. Цена продукта в этом случае будет \(p = 62.5\).

Для подробных подсчетов и обоснования было использовано понятие прибыли, выручки и общих затрат. Решение было произведено путем определения точки экстремума функции прибыли посредством производной. Также был найден соответствующий объем продаж и цена продукта при данном объеме продаж.