При каких значениях переменной dd угол между векторами overrightarrow{ m} и overrightarrow{n} будет равен

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

\[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}| \cos(\theta)\]

Где \(\overrightarrow{m}\) и \(\overrightarrow{n}\) - наши векторы, \(|\overrightarrow{m}|\) и \(|\overrightarrow{n}|\) - их модули, \(\theta\) - искомый угол.

В нашей задаче \(\overrightarrow{m} = \{3, d\}\) и \(\overrightarrow{n} = \{-6, -4\}\). Чтобы найти модуль вектора, мы можем использовать формулу:

\[|\overrightarrow{v}| = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2}\]

Для вектора \(\overrightarrow{m}\) это будет:

\[|\overrightarrow{m}| = \sqrt{3^2 + d^2} = \sqrt{9 + d^2}\]

А для вектора \(\overrightarrow{n}\):

\[|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу скалярного произведения:

\[3 \cdot (-6) + d \cdot (-4) = \sqrt{9 + d^2} \cdot \sqrt{52} \cdot \cos(180\degree)\]

Для угла между векторами, равного 180\degree, \(\cos(180\degree)\) будет равно -1. Тем самым у нас получается уравнение:

\[-18 - 4d = \sqrt{9 + d^2} \cdot \sqrt{52} \cdot (-1)\]

Чтобы продолжить решение, нам нужно найти квадратный корень на правой стороне уравнения:

\[\sqrt{9 + d^2} \cdot \sqrt{52} = \sqrt{(9 + d^2) \cdot 52}\]

Теперь мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\[(-18 - 4d)^2 = (9 + d^2) \cdot 52\]

После раскрытия скобок и упрощения уравнения, мы получим:

\[324 + 72d + 16d^2 = 468 + 52d^2\]

\[36d + 16d^2 - 144 = 0\]

\[4d^2 + 9d - 36 = 0\]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы дискриминанта.

Получим:

\[(2d + 9)(2d - 4) = 0\]

Тогда \(2d + 9 = 0\) или \(2d - 4 = 0\):

1) \(2d + 9 = 0\)
\(2d = -9\)
\(d = -\frac{9}{2}\)

2) \(2d - 4 = 0\)
\(2d = 4\)
\(d = 2\)

Итак, угол между векторами будет равен 180\degree, когда \(d = -\frac{9}{2}\) или \(d = 2\).