При каких значениях параметра p корень уравнения p^2 = f(p-x) + f(3-x) + 61 будет равен нулю, а другой корень будет

Дано уравнение \(p^2 = f(p-x) + f(3-x) + 61\), где функция \(f(x) = x^2\).

Чтобы найти значения параметра \(p\), при которых корень уравнения равен нулю, нам нужно найти значения \(p\), для которых выражение в левой части уравнения равно нулю.

Давайте разберемся с правой частью уравнения. Подставим функцию \(f(x) = x^2\) в уравнение и раскроем скобки:

\(p^2 = (p-x)^2 + (3-x)^2 + 61\)

Раскроем квадраты:

\(p^2 = p^2 - 2px + x^2 + 9 - 6x + x^2 + 61\)

Упростим уравнение:

\(0 = -2px + 2x^2 - 6x + 70\)

Теперь приведем подобные члены:

\(2x^2 - 2px - 6x + 70 = 0\)

Разделим на 2 для упрощения:

\(x^2 - px - 3x + 35 = 0\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной \(x\), которое нужно решить. Давайте воспользуемся квадратным трехчленом или формулой дискриминанта для нахождения корней этого уравнения.

Для начала найдем дискриминант \(\Delta\) с помощью формулы: \(\Delta = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -p - 3\), \(c = 35\).

\(\Delta = (-p - 3)^2 - 4(1)(35)\)

\(\Delta = p^2 + 6p + 9 - 140\)

\(\Delta = p^2 + 6p - 131\)

Теперь, зная дискриминант, мы можем найти корни квадратного уравнения. Существует три случая:

1. Если \(\Delta < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней, и следовательно, корень уравнения не будет равен нулю.

2. Если \(\Delta = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень и это значит, что \(x_1 = -\frac{b}{2a}\). В таком случае корень уравнения будет равен нулю.

3. Если \(\Delta > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня \(x_1\) и \(x_2\). Один из них будет больше нуля.

Теперь давайте рассмотрим случаи подробнее:

1. Если \(\Delta < 0\), то уравнение не имеет корней равных нулю. Следовательно, параметр \(p\) необходимо выбирать так, чтобы дискриминант \(\Delta\) был больше или равен нулю.

2. Если \(\Delta = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень \(x_1 = -\frac{b}{2a}\). Теперь подставим найденное значение \(x_1\) в начальное уравнение и найдем соответствующее значение параметра \(p\):

\(p^2 = f(p - x_1) + f(3 - x_1) + 61\)

\(p^2 = f(p + \frac{b}{2a}) + f(3 + \frac{b}{2a}) + 61\)

\(p^2 = f(p - \frac{p + 3}{2}) + f(3 - \frac{p + 3}{2}) + 61\)

\(p^2 = f(\frac{p - 3}{2}) + f(\frac{3 - p}{2}) + 61\)

Теперь мы можем рассмотреть полученное уравнение как функцию от параметра \(p\). Мы можем построить график этой функции и найти значения параметра \(p\), при которых корень уравнения равен нулю.

3. Если \(\Delta > 0\), то уравнение имеет два вещественных корня \(x_1\) и \(x_2\). Теперь подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в начальное уравнение:

Дано: \(p^2 = f(p - x_1) + f(3 - x_1) + 61\)

Дано: \(p^2 = f(p - x_2) + f(3 - x_2) + 61\)

Теперь мы можем рассмотреть полученные уравнения как функции от параметра \(p\). Мы можем построить графики этих функций и найти значения параметра \(p\), при которых одно из решений будет больше нуля.

Итак, для нахождения значений параметра \(p\) при которых корень уравнения равен нулю, а другой корень будет больше нуля, мы должны рассмотреть три случая:

1. Если \(\Delta < 0\), то корень уравнения не будет равен нулю.

2. Если \(\Delta = 0\), нам нужно решить полученное уравнение относительно параметра \(p\), подставить найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в начальное уравнение и проверить, при каких значениях параметра \(p\) корень уравнения равен нулю, а другой корень будет больше нуля.

3. Если \(\Delta > 0\), нам нужно решить полученные уравнения относительно параметра \(p\), подставить найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в начальное уравнение и проверить, при каких значениях параметра \(p\) одно из решений будет больше нуля.