При каких значениях m плоскость, проходящая через точки Q(1; 1; 2), R(–1; 2; 1), S(2; –3; –8), будет ортогональна

Для начала определим уравнение плоскости x + my - z = 0. Заметим, что этот вид уравнения представляется в виде нормальной формы плоскости. Зная, что нормальный вектор плоскости задается коэффициентами уравнения плоскости, мы получаем, что нормальный вектор этой плоскости равен \(\mathbf{n} = (1, m, -1)\).

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки Q(1; 1; 2), R(-1; 2; 1), S(2; -3; -8). Чтобы эта плоскость была ортогональна плоскости x + my - z = 0, вектор, параллельный этой плоскости, должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости x + my - z = 0.

Чтобы найти параллельный вектор, воспользуемся векторным произведением двух векторов, которые лежат в плоскости QRS. Выберем вектор QP(1, 1, 2) и вектор QR(2, -1, -1). Проведем вычисления:

\[
\mathbf{v} = \mathbf{QP} \times \mathbf{QR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \left( 3, 3, -3 \right)
\]

Получили вектор \(\mathbf{v} = (3, 3, -3)\). Для того чтобы \(\mathbf{v}\) был перпендикулярен \(\mathbf{n} = (1, m, -1)\), их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = (3, 3, -3) \cdot (1, m, -1) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot m + (-3) \cdot (-1) = 3 + 3m + 3 = 6 + 3m = 0
\]

Теперь решим это уравнение относительно \(m\):

\[
6 + 3m = 0 \implies 3m = -6 \implies m = \frac{-6}{3} \implies m = -2
\]

Таким образом, плоскость, проходящая через точки Q(1; 1; 2), R(-1; 2; 1), S(2; -3; -8), будет ортогональна плоскости x + my - z = 0 при \(m = -2\).