При каких значениях m будет равна сумма дробей 1/m и 2/m+2?

Чтобы найти значения \( m \), при которых сумма дробей \(\frac{1}{m}\) и \(\frac{2}{m+2}\) будет равна, нам нужно просуммировать эти две дроби и приравнять результат к некоторому числу. Давайте сделаем это пошагово.

Первая дробь \(\frac{1}{m}\), означает, что мы берем единицу и делим на значение \( m \).

Вторая дробь \(\frac{2}{m+2}\), означает, что мы берем два и делим на значение \( m+2 \).

Теперь, чтобы получить итоговую сумму, мы складываем эти две дроби:

\(\frac{1}{m} + \frac{2}{m+2}\)

Чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \( m(m+2) \), так как оба знаменателя \( m \) и \( m+2 \) уже присутствуют.

Приведем первую дробь к общему знаменателю \( m(m+2) \):

\(\frac{1}{m} = \frac{(m+2)}{(m+2)} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m+2}{m(m+2)}\)

Теперь приведем вторую дробь к общему знаменателю \( m(m+2) \):

\(\frac{2}{m+2} = \frac{2}{m+2} \cdot \frac{m}{m} = \frac{2m}{m(m+2)}\)

Теперь мы можем сложить две дроби:

\(\frac{1}{m} + \frac{2}{m+2} = \frac{m+2}{m(m+2)} + \frac{2m}{m(m+2)}\)

Заметим, что знаменатели уже равны в обоих дробях, поэтому мы можем просто сложить числители:

\(\frac{1}{m} + \frac{2}{m+2} = \frac{m+2+2m}{m(m+2)}\)

Складываем числители:

\(\frac{1}{m} + \frac{2}{m+2} = \frac{3m+2}{m(m+2)}\)

Итак, мы получили сумму двух дробей. Теперь задача состоит в том, чтобы найти значения \( m \), при которых эта сумма будет равна определенному числу. Для этого мы приравниваем общую сумму к некоторому числу \( k \):

\(\frac{3m+2}{m(m+2)} = k\)

Теперь нам нужно найти значения \( m \), при которых это уравнение будет верным. Для этого мы умножаем оба выражения на \( m(m+2) \):

\(3m+2 = k \cdot m(m+2)\)

Мы видим, что это квадратное уравнение, так как есть \( m \cdot (m+2) \). Разложим его на множители, чтобы найти его корни:

\(3m+2 = k \cdot m^2 + 2k \cdot m\)

Получаем квадратное уравнение в виде:

\(k \cdot m^2 + (2k-3) \cdot m + 2 = 0\)

Теперь можно использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения \( m \), при которых уравнение будет иметь решение:

Дискриминант \( D \) равен:

\( D = (2k-3)^2 - 4 \cdot k \cdot 2\)

Уравнение будет иметь решение, если \( D \geq 0 \).

Решим неравенство:

\((2k-3)^2 - 8k \geq 0\)

\((4k^2 - 12k + 9) - 8k \geq 0\)

\(4k^2 - 20k + 9 \geq 0\)

Теперь нам нужно найти значения \( k \), при которых это неравенство будет верным. Для этого мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение:

\((2k-1)(2k-9) \geq 0\)

Из этого неравенства следует, что \( k \) должно быть либо меньше \(\frac{1}{2}\), либо больше \(\frac{9}{2}\), либо равно этим значениям. То есть, мы получаем следующие условия:

\( k \leq \frac{1}{2} \) и \( k \geq \frac{9}{2}\)

Теперь, исходя из этих условий, нам нужно использовать значения \( k \), чтобы найти соответствующие значения \( m \). Мы можем подставить значения \( k \) обратно в уравнение:

\(3m+2 = k \cdot m(m+2)\)

Используя каждое допустимое значение \( k \), мы можем решить это уравнение и найти значения \( m \), при которых сумма данных дробей будет равна заданному числу.

Например, если \( k = \frac{1}{2} \), уравнение будет выглядеть так:

\(3m+2 = \frac{1}{2} \cdot m(m+2)\)

Решая это уравнение, мы найдем соответствующее значение \( m \).

Таким образом, что бы найти значения \( m \), при которых сумма данных дробей равна заданному числу \( k \), нам нужно решить квадратное уравнение \( k \cdot m^2 + (2k-3) \cdot m + 2 = 0 \) и проверить значения \( k \) в диапазоне от \(\frac{1}{2}\) до \(\frac{9}{2}\).

Давайте решим это уравнение и найдем соответствующие значения \( m \) для предложенного задания.