При каких значениях а система уравнений {х² +у² = 4, {x+у=а имеет два решения?

Чтобы найти значения \(a\), при которых система уравнений \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = a \end{cases}\) имеет два решения, мы можем использовать графический метод.

Сначала рассмотрим уравнение \(x + y = a\). Это уравнение представляет собой прямую линию на плоскости. Мы заметим, что для каждого значения \(a\) прямая линия имеет некоторое пересечение с единичной окружностью, заданной уравнением \(x^2 + y^2 = 4\).

Если прямая линия пересекает единичную окружность в двух различных точках, то система уравнений имеет два решения. Если прямая линия касается единичной окружности или не пересекает ее вообще, то система не имеет решений или имеет только одно решение.

Теперь давайте рассмотрим каждый из возможных случаев:

1. Прямая линия не пересекает единичную окружность:
Если прямая линия не пересекает единичную окружность, то она не может иметь два точных пересечения с ней. Значит, система уравнений не имеет решений.

2. Прямая линия касается единичной окружности:
Если прямая линия только касается единичной окружности в одной точке, то есть только одна точка пересечения, то система уравнений имеет только одно решение.

3. Прямая линия пересекает единичную окружность в двух различных точках:
В этом случае система уравнений имеет два решения. Для нахождения значений \(a\) при этом условии, мы должны найти область значений \(a\), при которых прямая линия пересекает единичную окружность в двух точках.

Для упрощения решения, решим систему уравнений графически. Нарисуем единичную окружность и прямую линию \(x + y = a\) на одной координатной плоскости. Теперь будем двигать прямую линию вертикально (изменять значение \(a\)) и следить за тем, как она пересекает окружность.

Найденное значение \(a\), при котором прямая линия пересекает окружность в двух точках, будет ответом на задачу.

Мы видим, что значение \(a\), при котором прямая линия \(x + y = a\) пересекает единичную окружность в двух различных точках, составляет интервал \((-\sqrt{2}, \sqrt{2})\).

Таким образом, система уравнений \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = a \end{cases}\) имеет два решения при \(a \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})\).