При каких значениях (a) график квадратичной функции y=ax2-(a-3)x+1 пересекает ось абсцисс только в одной точке? Если

Чтобы найти значения \( a \), при которых график квадратичной функции \( y = ax^2 - (a-3)x + 1 \) пересекает ось абсцисс только в одной точке, нужно учесть следующее:

1. Если график функции пересекает ось абсцисс только в одной точке, это означает, что у уравнения функции \( y = ax^2 - (a-3)x + 1 = 0 \) есть один и только один корень.

2. Чтобы найти корни квадратного уравнения, используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где \( a \), \( b \) и \( c \) - коэффициенты квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).

3. Если дискриминант равен нулю (\( D = 0 \)), то у уравнения есть только один корень.

Теперь рассмотрим наше квадратное уравнение \( y = ax^2 - (a-3)x + 1 = 0 \). Чтобы найти значения \( a \), при которых уравнение имеет только один корень, рассмотрим его дискриминант.

Для этого выразим коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) нашего уравнения:

\( a = a \), \( b = -(a-3) \), \( c = 1 \).

Теперь посчитаем дискриминант \( D \):

\( D = [-(a-3)]^2 - 4a \cdot 1 \).

Упростим это выражение:

\( D = a^2 - 6a + 9 - 4a \).

Приведем подобные слагаемые:

\( D = a^2 - 10a + 9 \).

Теперь приравняем дискриминант к нулю:

\( a^2 - 10a + 9 = 0 \).

Данное уравнение является квадратным. Для его решения можно воспользоваться квадратными формулами:

\( a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

Подставим значения коэффициентов в формулу:

\( a_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \).

Упростим выражение:

\( a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \).

Вычислим значения подкоренного выражения:

\( \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \).

Подставим это значение в формулу:

\( a_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2} \).

Теперь рассмотрим два случая:

1. \( a_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9 \).

2. \( a_2 = \frac{10 - 8}{2} = 1 \).

Исходя из полученных значений \( a_1 \) и \( a_2 \), при \( a = 9 \) и \( a = 1 \), график квадратичной функции \( y = ax^2 - (a-3)x + 1 \) пересекает ось абсцисс только в одной точке.

Теперь, если функция имеет несколько корней, то можно вычислить их сумму. Для этого можно воспользоваться тождеством Виета.

Тождество Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями:

Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливы следующие равенства:

1. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \).
2. Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

Теперь применим тождество Виета к нашему уравнению \( y = 9x^2 - (9-3)x + 1 = 0 \):

1. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-(9-3)}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \).
2. Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{9} \).

Таким образом, если функция \( y = ax^2 - (a-3)x + 1 \) имеет несколько корней, то их сумма равна \(-\frac{2}{3}\).