При каких целых значениях n функция y=lg(nx^2-5x+1) будет определена на множестве (-∞; 1/4] U [1; +∞)? Заранее

Для начала определим, при каких значениях \(n\) функция \(y = \log(nx^2 - 5x + 1)\) будет определена на множестве \((-∞, \frac{1}{4}] \cup [1, +∞)\).

Функция \(\log(a)\) определена только для положительных \(a\), поэтому нужно найти значения \(n\), при которых выражение \(nx^2 - 5x + 1\) будет положительным или равным нулю на данном интервале.

Для этого решим неравенство \(nx^2 - 5x + 1 \geq 0\).

Сначала найдем точки, в которых выражение обращается в ноль. Решим уравнение \(nx^2 - 5x + 1 = 0\):

\[nx^2 - 5x + 1 = 0\]

Для определения, существуют ли действительные корни, рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = 25 - 4n\]

Для существования действительных корней \(D\) должно быть неотрицательным:

\[25 - 4n \geq 0\]

\[4n \leq 25\]

\[n \leq \frac{25}{4}\]

Таким образом, при \(n \leq \frac{25}{4}\) уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим три интервала:

1. \((-\infty, \frac{1}{4}]\):
В данном интервале нужно проверить, каким знаком будет выражение \(nx^2 - 5x + 1\) при \(n\) из этого интервала. Мы уже знаем, что уравнение \(nx^2 - 5x + 1 = 0\) имеет действительные корни при \(n \leq \frac{25}{4}\), поэтому можно выбрать любое значение \(x\) из интервала \((-\infty, \frac{1}{4}]\) и подставить его в уравнение. Например, возьмем \(x = 0\) (заметим, что \(0\) принадлежит данному интервалу):
При \(x = 0\) получим:
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 + 1 = 1 > 0\).
Значит, выражение \(nx^2 - 5x + 1\) положительно на интервале \((-\infty, \frac{1}{4}]\) при любых значениях \(n \leq \frac{25}{4}\).

2. \([1, +\infty)\):
Аналогично, проверим знак выражения \(nx^2 - 5x + 1\) при \(n\) из интервала \([1, +\infty)\). Выберем \(x = 1\), так как \(1\) принадлежит данному интервалу:
При \(x = 1\) получим:
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 1 = n - 4\).
При \(n > 4\) выражение \(n - 4\) будет положительным, следовательно, выражение \(nx^2 - 5x + 1\) положительно на интервале \([1, +\infty)\) для значений \(n > 4\).

3. Интервалы между \(\frac{1}{4}\) и \(1\):
Здесь нужно проверить знак выражения \(nx^2 - 5x + 1\) на промежутках \((\frac{1}{4}, 1)\) и \((1, \frac{25}{4})\). Подставим значения \(x = \frac{1}{2}\), \(x = \frac{3}{4}\), \(x = \frac{5}{4}\) и \(x = 2\) в уравнение и получим:

При \(x = \frac{1}{2}\):
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{n}{4} - \frac{5}{2} + 1 = \frac{n}{4} - \frac{3}{2}\).
Чтобы это выражение было положительным, необходимо, чтобы \(\frac{n}{4} - \frac{3}{2} > 0\), что эквивалентно \(n > 6\).

При \(x = \frac{3}{4}\):
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 5 \cdot \frac{3}{4} + 1 = \frac{9n}{16} - \frac{15}{4} + 1 = \frac{9n}{16} - \frac{11}{4}\).
Чтобы это выражение было положительным, необходимо, чтобы \(\frac{9n}{16} - \frac{11}{4} > 0\), что эквивалентно \(n > \frac{44}{9}\).

При \(x = \frac{5}{4}\):
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{4} + 1 = \frac{25n}{16} - \frac{25}{4} + 1 = \frac{25n}{16} - \frac{21}{4}\).
Чтобы это выражение было положительным, необходимо, чтобы \(\frac{25n}{16} - \frac{21}{4} > 0\), что эквивалентно \(n > \frac{84}{25}\).

При \(x = 2\):
\(nx^2 - 5x + 1 = n \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 1 = 4n - 10 + 1 = 4n - 9\).
Чтобы это выражение было положительным, необходимо, чтобы \(4n - 9 > 0\), что эквивалентно \(n > \frac{9}{4}\).

Таким образом, выражение \(nx^2 - 5x + 1\) будет положительным на интервалах \((\frac{1}{4}, 1)\) и \((1, \frac{25}{4})\) для значений \(n > \frac{44}{9}\) и \(n > \frac{84}{25}\), соответственно.

Таким образом, функция \(y = \log(nx^2 - 5x + 1)\) будет определена на множестве \((-∞, \frac{1}{4}] \cup [1, +∞)\) при следующих значениях целого числа \(n\):
1. \(n \leq \frac{25}{4}\)
2. \(n > 4\) (для интервала \([1, +∞)\))
3. \(n > 6\) (для интервала \((\frac{1}{4}, 1)\))
4. \(n > \frac{44}{9}\) (для интервала \((\frac{1}{4}, 1)\))
5. \(n > \frac{84}{25}\) (для интервала \((1, \frac{25}{4})\))
6. \(n > \frac{9}{4}\) (для интервала \((1, \frac{25}{4})\))

Надеюсь, это подробное решение поможет вам понять, при каких значениях \(n\) функция будет определена на данном множестве.