При каких b и c значениях прямые y=4x и y=−14x касаются графика функции f(x)=x2+bx+c?

Чтобы найти значения b и c, при которых прямые y=4x и y=−14x касаются графика функции f(x)=x2+bx+c, мы должны найти точку касания или, другими словами, точку пересечения между графиком функции и каждой из прямых.

Для начала, рассмотрим прямую y=4x. Чтобы эта прямая касалась графика функции f(x), значит, она должна иметь единственную общую точку с графиком. Подставим уравнение прямой в уравнение функции и найдем значения b и c.

Заменяем y в функции на 4x:

x^2 + bx + c = 4x

Располагаем уравнение в стандартной квадратной форме:

x^2 + (b-4)x + c = 0

Теперь мы знаем, что дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю, так как прямая должна быть касательной к графику. Дискриминант вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac. Равенство нулю даст нам значение b и c.

Подставляем значения a = 1, b = b-4 и c = c в уравнение дискриминанта:

D = (b-4)^2 - 4(1)(c)

Так как мы знаем, что D должно быть равно нулю, получаем:

0 = (b-4)^2 - 4c

Раскрываем квадрат:

0 = b^2 - 8b + 16 - 4c

Перегруппируем слагаемые:

b^2 - 8b + 16 = 4c

Полученное уравнение (1) поможет нам найти связь между b и c.

Теперь давайте рассмотрим прямую y=-14x. Процедура будет аналогичной. Подставим уравнение прямой в уравнение функции и найдем значения b и c.

Заменяем y в функции на -14x:

x^2 + bx + c = -14x

И снова располагаем уравнение в стандартной квадратной форме:

x^2 + (b+14)x + c = 0

Теперь вычисляем дискриминант снова, чтобы найти значения b и c:

D = (b+14)^2 - 4(1)(c)

Поскольку прямая должна быть касательной, дискриминант должен быть равен нулю:

0 = (b+14)^2 - 4c

Раскрываем квадрат:

0 = b^2 + 28b + 196 - 4c

Перегруппируем слагаемые:

b^2 + 28b + 196 = 4c

И это наше уравнение (2), которое поможет нам найти связь между b и c.

Теперь у нас есть два уравнения, (1) и (2), которые связывают значения b и c. Решим их совместно, чтобы найти значения, при которых прямые касаются графика функции.

Сложим уравнения (1) и (2):

b^2 - 8b + 16 + b^2 + 28b + 196 = 4c + 4c

Упростим:

2b^2 + 20b + 212 = 8c

Полученное уравнение (3) связывает значения b и c.

Однако, у нас есть всего одно уравнение с двумя переменными, и нам требуется еще одно уравнение для решения системы и определения конкретных значений b и c. Для этого, мы можем воспользоваться условием касания.

Поскольку прямые y=4x и y=-14x касаются графика функции, то у них должны быть общие точки координат. Подставим координаты точки пересечения прямых в уравнение функции f(x)=x^2+bx+c, чтобы получить дополнительное уравнение. Координаты точки пересечения можно вычислить, приравняв два уравнения прямых:

4x = -14x

18x = 0

x = 0

Теперь, подставим x=0 в уравнение прямых:

y=4(0) => y=0

y=-14(0) => y=0

Получили, что точка пересечения прямых находится в точке (0, 0). Подставим эти значения в уравнение функции:

(0)^2 + b(0) + c = 0

c = 0

Таким образом, мы нашли, что c должно быть равно нулю.

Теперь, с учетом этого, вернемся к уравнению (3) и подставим c = 0:

2b^2 + 20b + 212 = 8(0)

2b^2 + 20b + 212 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, используя формулу дискриминанта:

D = 20^2 - 4(2)(212)

D = 400 - 1696

D = -1296

Поскольку дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет решений, значит таких значений b и c не существует, при которых прямые y=4x и y=-14x касаются графика функции f(x)=x^2+bx+c.