При делении трехзначных чисел, которые имеют вид aba, на 7, остатки будут одинаковыми. Что остаток будет, если сумма

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Представим трехзначное число в виде \(aba\).
Шаг 2: Запишем это число в виде \(100 \cdot a + 10 \cdot b + a\).
Шаг 3: Произведем деление числа на 7 и поизучаем остаток.
Шаг 4: Рассмотрим ситуацию, когда сумма цифр \(a\) и \(b\) делится на 7 без остатка.

Теперь перейдем к решению.
Шаг 1: Представим число в виде \(aba\).
Шаг 2: Запишем это число в виде \(100 \cdot a + 10 \cdot b + a = 101 \cdot a + 10 \cdot b\).
Шаг 3: Для того чтобы найти остаток от деления трехзначного числа на 7, нам нужно найти остатки от деления каждой его цифры на 7 и сложить их.

Остаток от деления \(101 \cdot a\) на 7 равен остатку от деления \(100 \cdot a\) на 7.
Остаток от деления \(100 \cdot a\) на 7 можно найти, вычитая из числа \(a\) удвоенное значение остатка от деления \(a\) на 7.
Таким образом, остаток от деления \(100 \cdot a\) на 7 равен \(a - 2 \cdot (a \mod 7)\).

Остаток от деления \(10 \cdot b\) на 7 равен остатку от деления \(b\) на 7.

Поэтому остаток от деления трехзначного числа на 7 равен сумме остатков от деления \(101 \cdot a\) и \(10 \cdot b\) на 7:
\[{\text{Остаток}} = (a - 2 \cdot (a \mod 7)) + (b \mod 7)\]

Шаг 4: Если сумма цифр \(a\) и \(b\) делится на 7 без остатка, то нам нужно, чтобы остаток от деления \(a\) и \(b\) на 7 был равен нулю. Тогда остаток от деления трехзначного числа на 7 будет равен нулю:
\[{\text{Остаток при сумме} \,(a+b) \,\text{делится на 7 без остатка}} = 0\]

Это решение дает нам обоснованный ответ на вашу задачу и позволяет понять, как и почему это так.