Преобразуйте второй вариант Контрольной по математике на тему Корни, степени, логарифмы

Конечно! Для вас я готов преобразовать второй вариант контрольной работы по математике на тему "Корни, степени, логарифмы". Вот задания и их подробные решения:

1. Решите уравнение \(x^2 - 3x - 4 = 0\).
Решение:
Для начала, посмотрим на коэффициенты уравнения: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\). Теперь мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни уравнения:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\]
\[D = 9 + 16\]
\[D = 25\]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Применяем формулы для нахождения корней:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1}\]
\[x_1 = \frac{8}{2}\]
\[x_1 = 4\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1}\]
\[x_2 = \frac{-2}{2}\]
\[x_2 = -1\]
Таким образом, уравнение \(x^2 - 3x - 4 = 0\) имеет два корня: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\).

2. Вычислите значение выражения \(\sqrt{81} - \sqrt{16}\).
Решение:
Для начала, найдем значения корней \(\sqrt{81}\) и \(\sqrt{16}\):
\(\sqrt{81} = 9\) и \(\sqrt{16} = 4\).
Теперь, подставим эти значения в выражение:
\(\sqrt{81} - \sqrt{16} = 9 - 4 = 5\).
Таким образом, значение выражения \(\sqrt{81} - \sqrt{16}\) равно 5.

3. Решите уравнение \(2^x = 16\).
Решение:
Чтобы решить это уравнение, применим логарифмы. Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:
\(\log_2 (2^x) = \log_2 16\).
Используя правило логарифма \(\log_a a^n = n\), получаем:
\(x \cdot \log_2 2 = \log_2 16\).
Так как \(\log_2 2 = 1\), упростим:
\(x \cdot 1 = \log_2 16\).
Теперь найдем значение логарифма:
\(\log_2 16 = 4\), так как \(2^4 = 16\).
Таким образом, \(x \cdot 1 = 4\), и решение уравнения \(2^x = 16\) составляет \(x = 4\).

4. Решите уравнение \(\log_3 (x-2) = 2\).
Решение:
Чтобы решить это уравнение с логарифмом, сначала избавимся от логарифма, возведя обе стороны в степень с основанием 3:
\(3^2 = x - 2\).
Вычисляем степень:
\(9 = x - 2\).
Теперь избавимся от -2, прибавив его к обеим сторонам уравнения:
\(9 + 2 = x - 2 + 2\).
Упрощаем:
\(11 = x\).
Таким образом, решение уравнения \(\log_3 (x-2) = 2\) составляет \(x = 11\).

5. Найдите значение выражения \(2^3 \cdot \sqrt{16} - 5^2\).
Решение:
Для начала, найдем значения степени и корня:
\(2^3 = 8\) и \(\sqrt{16} = 4\).
Теперь, подставим эти значения в выражение:
\(8 \cdot 4 - 5^2 = 32 - 25 = 7\).
Таким образом, значение выражения \(2^3 \cdot \sqrt{16} - 5^2\) равно 7.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять материал по корням, степеням и логарифмам. Если у вас есть еще вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!