Представьте точки a (2; 4), b (5; 1), c (0; -4), k (-3; -1) на графике, соединив их на рисунке, постройте

Чтобы найти точку пересечения отрезков \(ac\), нам понадобятся уравнения прямых, проходящих через отрезки \(ab\) и \(ck\).

1. Найдем уравнение прямой \(ab\).
a) Найдем угловой коэффициент \(m_1\) прямой \(ab\) с помощью формулы: \[m_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}},\]
где \(x_1, y_1\) - координаты точки \(a\), \(x_2, y_2\) - координаты точки \(b\).
Подставляя значения, получаем: \[m_1 = \frac{{1 - 4}}{{5 - 2}} = \frac{{-3}}{{3}} = -1.\]

b) Теперь найдем уравнение прямой \(ab\) в общем виде, используя угловой коэффициент \(m_1\) и координаты точки \(a\). Формула выглядит следующим образом: \[y - y_1 = m_1(x - x_1).\]
Подставляя значения, получаем: \[y - 4 = -1(x - 2).\]
Преобразуем это уравнение в общий вид: \[y - 4 = -x + 2 \Rightarrow x + y = 6.\]

2. Найдем уравнение прямой \(ck\).
a) Найдем угловой коэффициент \(m_2\) прямой \(ck\) с помощью формулы: \[m_2 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}},\]
где \(x_1, y_1\) - координаты точки \(c\), \(x_2, y_2\) - координаты точки \(k\).
Подставляя значения, получаем: \[m_2 = \frac{{-1 - (-4)}}{{-3 - 0}} = \frac{{3}}{{-3}} = -1.\]

b) Теперь найдем уравнение прямой \(ck\) в общем виде, используя угловой коэффициент \(m_2\) и координаты точки \(c\). Формула выглядит следующим образом: \[y - y_1 = m_2(x - x_1).\]
Подставляя значения, получаем: \[y - (-4) = -1(x - 0).\]
Преобразуем это уравнение в общий вид: \[y + 4 = -x \Rightarrow x + y + 4 = 0.\]

3. Теперь у нас есть два уравнения с прямыми \(ab\) и \(ck\). Чтобы найти точку пересечения этих прямых, мы должны решить систему уравнений из этих двух уравнений. Сначала представим систему в матричной форме:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.\]

4. Найдем обратную матрицу к матрице коэффициентов:
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.\]
Рассчитаем обратную матрицу:
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{{(1 \cdot 1) - (1 \cdot 1)}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{{0 - 1}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}.\]
\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}.\]

Таким образом, точка пересечения отрезков \(ac\) имеет координаты \((x, y) = (-2, 10)\).