Представьте на числовой оси и определите с помощью двойного неравенства множество точек, для которых выполняется

Чтобы решить данную задачу, мы должны представить множество точек на числовой оси, для которых выполняется неравенство \(|x-1|\).

Начнем с того, что разберем, что означает неравенство \(|x-1|\). Абсолютное значение выражения \(|x-1|\) равно расстоянию между числом \(x\) и числом \(1\) на числовой оси. Таким образом, можно сказать, что неравенство \(|x-1|\) означает, что расстояние между \(x\) и \(1\) должно быть меньше или равно некоторого числа.

Теперь давайте решим это неравенство пошагово. Рассмотрим два случая: \(x \geq 1\) и \(x < 1\).

1. Если \(x \geq 1\), значит \(x\) находится правее точки \(1\) на числовой оси. Расстояние между \(x\) и \(1\) равно \(x-1\). Таким образом, неравенство \(|x-1| \leq c\) выполняется, если \(x\) находится в интервале \([1-c, +\infty)\).

2. Если \(x < 1\), значит \(x\) находится левее точки \(1\) на числовой оси. Расстояние между \(x\) и \(1\) равно \(1-x\). Таким образом, неравенство \(|x-1| \leq c\) выполняется, если \(x\) находится в интервале \((-\infty, 1+c]\).

Итак, множество точек, для которых выполняется неравенство \(|x-1|\), зависит от значения \(c\) и может быть представлено на числовой оси следующим образом:

\[
\begin{cases}
x \in [1-c, +\infty), & \text{если } x \geq 1 \\
x \in (-\infty, 1+c], & \text{если } x < 1 \\
\end{cases}
\]

Где \(c\) - это некоторое положительное число.