Представьте дробь 0,(2) и 7,(8) в виде p/q, где p - целое число, а q - натуральное число

Хорошо, рассмотрим задачу и постараемся дать максимально подробное и понятное решение.

Для начала, давайте разберемся с первой дробью 0,(2). Чтобы преобразовать эту дробь в виде p/q, нам нужно найти такие числа p и q, чтобы выполнялось равенство 0,(2) = p/q.

Чтобы решить это, давайте предположим, что число 0,(2) можно представить в виде обыкновенной дроби p/q. Заметим, что числа после запятой в дробях 0,(2) повторяются бесконечно. Так что можно записать это в виде уравнения:

0,(2) = 2/9 + 2/90 + 2/900 + ...
= 2/9 * (1 + 1/10 + 1/100 + ...)

Обратите внимание, что в выражении в скобках мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 10. Теперь мы можем воспользоваться формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Применяя эту формулу к нашему выражению, получаем:

0,(2) = 2/9 * (1 / (1 - 1/10)) = 2/9 * (10/9) = 20/81.

Таким образом, дробь 0,(2) равна 20/81.

Теперь перейдем ко второй дроби 7,(8). Аналогично предыдущему случаю, мы должны найти числа p и q такие, что 7,(8) = p/q.

Разобьем вторую дробь на две части: 7 и 0,(8). Заметим, что 0,(8) также представляет собой бесконечно повторяющуюся десятичную дробь:

0,(8) = 8/9 + 8/90 + 8/900 + ...
= 8/9 * (1 + 1/10 + 1/100 + ...)

Пользуясь формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии, мы можем записать:

0,(8) = 8/9 * (1 / (1 - 1/10)) = 8/9 * (10/9) = 80/81.

Итак, 0,(8) равно 80/81.

Теперь объединим 7 и 0,(8): 7 + 0,(8) = 7 + 80/81.

Для сложения этих двух дробей нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель - это произведение их знаменателей, то есть 81:

7 + 80/81 = (7 * 81 + 80) / 81 = (567 + 80) / 81 = 647 / 81.

Таким образом, дробь 7,(8) представляется в виде 647/81.

Итак, мы получили ответ на задачу:

0,(2) = 20/81,
7,(8) = 647/81.

Хочу подчеркнуть, что решение было выполнено путем преобразования бесконечно повторяющихся десятичных дробей в обыкновенные. Были использованы формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии и арифметические операции сложения дробей.