Представляет ли функция y=x^-1/3 функцию с возрастающим значением?

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей о функции \(y = x^{-\frac{1}{3}}\).

Чтобы определить, является ли эта функция функцией с возрастающими значениями, мы можем проанализировать ее производную. Если производная положительна на всей области определения функции, то функция является возрастающей.

Давайте найдем производную функции \(y = x^{-\frac{1}{3}}\):

\[y" = \frac{d}{dx} \left( x^{-\frac{1}{3}} \right)\]

Для удобства вычислений, мы можем записать функцию как \(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\). Теперь мы можем найти производную, применяя правило дифференцирования степенной функции:

\[y" = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3} + 1}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\). Чтобы выяснить, является ли она положительной на всем области определения, нужно решить неравенство \(y" > 0\).

\[-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} > 0\]

Домножим обе стороны на \(-3\), чтобы избавиться от отрицательного знака:

\[\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} < 0\]

Теперь вспомним, что неравенство между числом и нулем меняет направление при умножении на отрицательное число. Поэтому мы можем поменять знак неравенства, сохраняя порядок неравенства:

\[\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} > 0\]

Чтобы выяснить, когда эта функция положительна, необходимо разобраться с ее знаком.

Разложим выражение на множители. Числитель состоит из единицы, что всегда положительно. Остается только знак в знаменателе, исследуемый выражением \(x^{\frac{4}{3}}\). Заметим, что величина \(x\) в знаменателе всегда положительна и не равна нулю (так как в знаменателе находится степень), значит вся функция будет положительна на всем интервале ее определения.

Таким образом, функция \(y = x^{-\frac{1}{3}}\) является возрастающей на всем интервале своего определения.